初三数学-二次函数的大题

72xB(0,4)A(6,0)EFxyO二次函数与四边形一．二次函数与四边形的形状例1.(浙江义乌市)如图，抛物线223yxx与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．例1.解：（1）令y=0，解得11x或23x∴A（-1，0）B（3，0）；将C点的横坐标x=2代入223yxx得y=-3，∴C（2，-3）∴直线AC的函数解析式是y=-x-1（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（2(,23)xxx∵P点在E点的上方，PE=22(1)(23)2xxxxx∴当12x时，PE的最大值=94（3）存在4个这样的点F，分别是1234(1,0),(3,0),(470),(47,0)FFFF，练习1.(河南省实验区)23．如图，对称轴为直线72x的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点EA72xB(0,4)A(6,0)EFxyO的坐标；若不存在，请说明理由．练习1.解：（1）由抛物线的对称轴是72x，可设解析式为27()2yaxk．把A、B两点坐标代入上式，得227(6)0,27(0)4.2akak解之，得225,.36ak故抛物线解析式为22725()326yx，顶点为725(,).26（2）∵点(,)Exy在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合22725()326yx，∴y0，即－y0,－y表示点E到OA的距离．∵OA是OEAF的对角线，∴2172264()2522OAESSOAyy．因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x的取值范围是1＜x＜6．①根据题意，当S=24时，即274()25242x．化简，得271().24x解之，得123,4.xx故所求的点E有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）．点E1（3，－4）满足OE=AE，所以OEAF是菱形；点E2（4，－4）不满足OE=AE，所以OEAF不是菱形．②当OA⊥EF，且OA=EF时，OEAF是正方形，此时点E的坐标只能是（3，－3）．而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使OEAF为正方形54321123D554321ACEMBC1O2l1lxy练习2.（四川省德阳市）25.如图，已知与x轴交于点(10)A，和(50)B，的抛物线1l的顶点为(34)C，，抛物线2l与1l关于x轴对称，顶点为C．（1）求抛物线2l的函数关系式；（2）已知原点O，定点(04)D，，2l上的点P与1l上的点P始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点DOPP，，，为顶点的四边形是平行四边形？（3）在2l上是否存在点M，使ABM△是以AB为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．练习2.解：（1）由题意知点C的坐标为(34)，．设2l的函数关系式为2(3)4yax．又点(10)A，在抛物线2(3)4yax上，2(13)40a，解得1a．抛物线2l的函数关系式为2(3)4yx（或265yxx）．（2）P与P始终关于x轴对称，PP与y轴平行．设点P的横坐标为m，则其纵坐标为265mm，4OD，22654mm，即2652mm．当2652mm时，解得36m．当2652mm时，解得32m．当点P运动到(362)，或(362)，或(322)，或(322)，时，PPOD∥，以点DOPP，，，为顶点的四边形是平行四边形．（3）满足条件的点M不存在．理由如下：若存在满足条件的点M在2l上，则90AMB，30BAM（或30ABM），114222BMAB．过点M作MEAB于点E，可得30BMEBAM．112122EBBM，3EM，4OE．543211234554321AEBC1O2l1lxy点M的坐标为(43)，．但是，当4x时，246451624533y．不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形．练习3.（山西卷）如图，已知抛物线1C与坐标轴的交点依次是(40)A，，(20)B，，(08)E，．（1）求抛物线1C关于原点对称的抛物线2C的解析式；（2）设抛物线1C的顶点为M，抛物线2C与x轴分别交于CD，两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S．若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．练习3.[解]（1）点(40)A，，点(20)B，，点(08)E，关于原点的对称点分别为(40)D，，(20)C，，(08)F，．设抛物线2C的解析式是2(0)yaxbxca，则16404208abcabcc，，．解得168abc，，．所以所求抛物线的解析式是268yxx．（2）由（1）可计算得点(31)(31)MN，，，．过点N作NHAD，垂足为H．当运动到时刻t时，282ADODt，12NHt．根据中心对称的性质OAODOMON，，所以四边形MDNA是平行四边形．所以2ADNSS△．所以，四边形MDNA的面积2(82)(12)4148Stttt．因为运动至点A与点D重合为止，据题意可知04t≤．所以，所求关系式是24148Stt，t的取值范围是04t≤．（3）781444St，（04t≤）．所以74t时，S有最大值814．提示：也可用顶点坐标公式来求．（4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形．由（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是ADMN，，所以当ADMN时四边形MDNA是矩形．所以ODON．所以2222ODONOHNH．所以22420tt．解之得126262tt，（舍）．所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时62t．[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。