...1专题强化练八等差数列与等比数列一、选择题1.(2018·惠州调研)数列{an}是公差为2的等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,若S5=15,则a5=()A.3B.5C.7D.9解析:由等差数列性质得,S5=5a3=15,所以a3=3,则a5=a3+2d=3+2×2=7.答案:C2.(2018·山西太原3月模拟考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a3+a10=9,则S9=()A.3B.9C.18D.27解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.因为a2+a3+a10=9,所以3a1+12d=9,即a1+4d=3,所以a5=3,所以S9=9×(a1+a9)2=9×2a52=27.答案:D3.(2018·衡水中学第二次调研)已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=1+2an(n≥2),且a1=2,则S20=()A.219-1B.221-2C.219+1D.221+2解析:因为Sn=1+2an(n≥2),且a1=2,所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=1+2an-(1+2an-1),化为an=2an-1,所以数列{an}是等比数列,公比和首项都为2.所以S20=2(220-1)2-1=221-2.答案:B4.已知Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,则a2+a3a1等于()A.4B.6C.8D.10解析:设数列{an}的公差为d,则S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d,因为S1,S2,S4成等比数列,所以S22=S1S4,即(2a1+d)2=a1(4a1+6d),解得d=0(舍去)或d=2a1,...2所以a2+a3a1=a1+d+a1+2da1=8a1a1=8.答案:C二、填空题5.(2018·北京卷)设{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为________.解析:设{an}的公差为d,依题设a2+a5=2a1+5d=6+5d=36,所以d=6,因此an=3+6(n-1)=6n-3.答案:an=6n-36.已知数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则a2a6=________.解析:由于Sn=2n-1,所以an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1(n≥2).则a2·a6=2·25=26=64.答案:647.设等差数列{bn}满足b1+b3=6,b2+b4=2,则2b12b2…2bn的最大值为________.解析:设数列{bn}的公差为d,由b1+b3=6,b2+b4=2,得b1+d=3,b1+2d=1,解得b1=5,d=-2.所以{bn}的前n项和Sn=5n+n(n-1)2×(-2)=-n2+6n=-(n-3)2+9≤9.故2b1·2b2·2b3·…·2bn=2b1+b2+…+bn=2Sn≤29=512.答案:512三、解答题8.(2018·北京卷)设{an}是等差数列,且a1=ln2,a2+a3=5ln2.(1)求{an}的通项公式;(2)求ea1+ea2+…+ean.解:(1)设{an}的公差为d.因为a2+a3=5ln2,所以2a1+3d=5ln2.又a1=ln2,所以d=ln2.所以an=a1+(n-1)d=nln2.(2)因为ea1=eln2=2,eanean-1=ean-an-1=eln2=2.所以{ean}是首项为2,公比为2的等比数列.所以ea1+ea2+…+ean=2×1-2n1-2=2(2n-1)=2n+1-2.9.(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=-6....3(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.解:(1)设{an}的公比为q,由题设可得a1(1+q)=2,a1(1+q+q2)=-6,解得q=-2,a1=-2.故{an}的通项公式为an=(-2)n.(2)由(1)得Sn=a1(1-qn)1-q=-2[1-(-2)n]1-(-2)=23[(-2)n-1],则Sn+1=23[(-2)n+1-1],Sn+2=23[(-2)n+2-1],所以Sn+1+Sn+2=23[(-2)n+1-1]+23[(-2)n+2-1]=23[2(-2)n-2]=43[(-2)n-1]=2Sn,所以Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.10.(2018·湖南师大附中质检)在公比为q的等比数列{an}中,已知a1=16,且a1,a2+2,a3成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若q<1,求满足a1-a2+a3-a4+…+a2n-1-a2n>10的最小正整数n的值.解:(1)依题意,2(a2+2)=a1+a3,且a1=16.所以2(16q+2)=16+16q2,即4q2-8q+3=0.因此q=12或q=32.当q=12时,an=16·12n-1=25-n;当q=32时,an=16·32n-1.(2)由(1)知,当q<1时,an=25-n,则a1-a2+a3-a4+…+a2n-1-a2n=161--122n1--12=3231-122n.由3231-122n>10,得122n<116.所以n>2,所以正整数n的最小值为3.