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...1专题强化练三不等式一、选择题1．(2018·湖南衡阳第一次联考)若a、b、c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是()A．ac2＜bc2B.1a＜1bC.ba＞abD．a2＞ab＞b2解析：若c＝0，则A不成立；1a－1b＝b－aab＞0，选项B错；ba－ab＝b2－a2ab＝（b＋a）（b－a）ab＜0，选项C错．由a＜b＜0，得a2＞ab，且ab＞b2，从而a2＞ab＞b2，D正确．答案：D2．已知函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f(2－x)＞0的解集为()A．{x|x＞2或x＜－2}B．{x|－2＜x＜2}C．{x|x＜0或x＞4}D．{x|0＜x＜4}解析：f(x)＝ax2＋(b－2a)x－2b是偶函数，因此b－2a＝0，即b＝2a，则f(x)＝a(x－2)(x＋2)．又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以a＞0.f(2－x)＞0即ax(x－4)＞0，解得x＜0或x＞4.答案：C3．(2018·河北石家庄一模)若x，y满足约束条件y≤x，x＋y≤1，y≥－1，则z＝2x＋y的最大值是()A．2B．3C．4D．5解析：先根据约束条件画出可行域，如图阴影部分，当直线z＝2x＋y过点A(2，－1)时，z取最大值，zmax＝2×2－1＝3.答案：B4．(2018·佛山质检)若a＞0，b＞0且2a＋b＝4，则1ab的最小值为()...2A．2B.12C．4D.14解析：因为a＞0，b＞0，故2a＋b≥22ab(当且仅当2a＝b时取等号)．又因为2a＋b＝4，所以22ab≤4⇒0＜ab＜2，则1ab≥12.故1ab的最小值为12.答案：B5．变量x，y满足x＋y≤2，2x－3y≤9，x≥0，则x2＋y2的最大值是()A．4B．9C．10D．12解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x2＋y2表示区域内点到原点距离的平方，由x＋y＝2，2x－3y＝9，得A(3，－1)．由图形知，(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.答案：C6．实数x，y满足xy≥0，|x＋y|≤1，使z＝ax＋y取得最大值的最优解有2个，则z1＝ax＋y＋1的最小值为()A．0B．－2C．1D．－1解析：画出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示，因为z＝ax＋y取得最大值的最优解有2个，所以－a＝1，a＝－1，所以当x＝1，y＝0或x＝0，y＝－1时，z＝ax＋y＝－x＋y有最小值－1，所以ax＋y＋1的最小值是0.答案：A二、填空题...37．(2018·全国卷Ⅲ)若变量x，y满足约束条件2x＋y＋3≥0，x－2y＋4≥0，x－2≤0，则z＝x＋13y的最大值是________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．作直线y＝－3x，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x＝2与直线x－2y＋4＝0的交点(2，3)时，z＝x＋13y取得最大值，故zmax＝2＋13×3＝3.答案：38．(2018·天津卷)已知a∈R，函数f(x)＝x2＋2x＋a－2，x≤0，－x2＋2x－2a，x＞0.若对任意x∈[－3，＋∞)，f(x)≤|x|恒成立，则a的取值范围是________．解析：当－3≤x≤0时，f(x)≤|x|恒成立等价转化为x2＋2x＋a－2≤－x恒成立，即a≤－x2－3x＋2恒成立，所以a≤(－x2－3x＋2)min＝2；当x＞0时，f(x)≤|x|恒成立等价转化为－x2＋2x－2a≤x恒成立，即a≥－x2＋x2恒成立，所以a≥－x2＋x2max＝18.综上可知，a的取值范围是18，2.答案：18，29．在平面直角坐标系xOy中，M(a，b)为不等式组x＋y≤2，2x－3y≤9，x≥0所表示的区域上任意动点，则b－1a－4的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，...4则M(a，b)在△AEF内(含边界)．易知b－1a－4表示点M与点B(4，1)连线的斜率，当点M与点A重合时，kAB取最大值．又x＋y＝2，2x－3y＝9.解得点A(3，－1)，所以b－1a－4的最大值为kAB＝1－（－1）4－3＝2.答案：210．设满足x＋y≤6，x－y≤2，x≥0，y≥0，的实数x，y所在的平面区域为Ω，则Ω的外接圆方程是________．解析：作出不等式组表示的平面区域Ω，如图中阴影部分所示．则区域Ω是四边形ABCO(含内部及边界)．易知BC⊥AB，则外接圆的圆心为AC的中点，又A(0，6)，C(2，0)，则该四边形外接圆圆心为(1，3)，半径r＝12|AC|＝10，故所求外接圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.答案：(x－1)2＋(y－3)2＝1011．(2018·河南八校质检)已知等差数列{an}中，a3＝7，a9＝19，Sn为数列{an}的前n项和，则Sn＋10an＋1的最小值是________．解析：因为a3＝7，a9＝19，所以公差d＝a9－a39－3＝19－76＝2，所以an＝a3＋(n－3)d＝7＋2(n－3)＝2n＋1，所以Sn＝n（3＋2n＋1）2＝n(n＋2)，因此Sn＋10an＋1＝n（n＋2）＋102n＋2＝12[(n＋1)＋9n＋1]≥12×2（n＋1）·9n＋1＝3.当且仅当n＋1＝9n＋1即n＝2时取等号．...5故Sn＋10an＋1的最小值为3.答案：3三、解答题12．(2017·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为70x＋60y≤600，5x＋5y≥30，x≤2y，x≥0，x∈N，y≥0，y∈N，即7x＋6y≤60，x＋y≥6，x－2y≤0，x≥0，x∈N，y≥0，y∈N，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分中的整数点．(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－125x＋z25，这是斜率为－125，随z变化的一族平行直线，z25为直线在y轴上的截距，当z25取得最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距z25最大，即z最大．解方程组7x＋6y＝60，x－2y＝0，得点M的坐标为(6，3)．...6所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．