求数列通项公式的方法

求数列通项公式的方法1/4复习（一）求数列通项公式an基本方法和技巧数列的通项公式是数列的核心内容之一,它如同函数中的解析式一样,有了解析式便可研究起性质等;而有了数列的通项公式便可求出任一项以及前N项和等.因此,求数列的通项公式往往是解题的突破口,关键点.一、累加法：递推式为：an+1-an=f(n)(f(n)可求和)例1、已知数列{an}满足an+1=1122nnnnaa,a1=2,求数列{an}的通项公式.二、累乘法：递推式为：an+1/an=f(n)（f(n)要可求积）例2、在数列{an}中,a1=2,an+1=(n+1)an/n,求an三,构造法1、递推关系式为an+1=pan+q(p,q为常数)思路：设递推式可化为an+1+x=p(an+x),得an+1=pan+(p-1)x,解得x=q/(p-1)故可将递推式化为an+1+x=p(an+x)，构造数列{bn},bn=an+q/(p-1)bn+1=pbn即bn+1/bn=p,{bn}为等比数列.故可求出bn=f(n)再将bn=an+q/(p-1)代入即可得an例3、数列{an}中,对于n1(n€N)有an=2an-1+3,求an2、递推式为an+1=pan+qn(p,q为常数)思路：在an+1=pan+qn两边同时除以qn+1得，an+1/qn+1=p/qan/qn+i/q构造数列{bn},bn=an/qn可得bn+1=p/qbn+1/q，故可利用上类型的解法得到bn=f(n)再将代入上式即可得an。例4、数列{an}中,a1+5/6,an+1=(1/3)an+(1/2)n,求an求数列通项公式的方法2/4四、利用sn和n、an的关系求an1、利用sn和n的关系求an思路：当n=1时，an=sn当n≥2时,an=sn-sn-1例5、已知数列前项和s=n2+1,求{an}的通项公式.2、利用sn和an的关系求an思路：利用an=sn-sn-1可以得到递推关系式，这样就可以利用前面的方法求解例6、在数列｛an｝中，已知sn=3+2an，求an五、公式法：适用于等差和等比数列例6、设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数,前n项和为Sn.（1）若a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式；（2）若a1≥6,a11＞0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式.求数列通项公式的方法3/4复习（二）求数列前n项和sn的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和[例1]已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和.二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.[例2]数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*).（1）求数列{an}的通项an;（2）求数列{nan}的前n项和Tn.三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，可以得到n个)(1naa.[例3]求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例4]求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan，…五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.[例5]求数列,11,,321,211nn的前n项和.求数列通项公式的方法4/4[例6]已知数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S2n=an(Sn-21).（1）求Sn的表达式；（2）设bn=12nSn，求{bn}的前n项和Tn.六、并项法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.[例7]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.[例8]在各项均为正数的等比数列中，若103231365logloglog,9aaaaa求的值.七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.[例9]求11111111111个n之和.解：由于)110(91999991111111kkk个个（找通项及特征）∴11111111111个n＝)110(91)110(91)110(91)110(91321n（分组求和）＝)1111(91)10101010(911321个nn＝9110)110(1091nn＝)91010(8111nn