求数列通项公式方法经典总结

求数列通项公式方法（1）．公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列}{na满足：26,7753aaa，求na；2.已知数列}{na满足)1(1,211naaann，求数列}{na的通项公式；3.数列na满足1a=8，022124nnnaaaa，且（Nn），求数列na的通项公式；4.已知数列}{na满足211,211nnaaa，求数列na的通项公式；5.设数列}{na满足01a且111111nnaa，求}{na的通项公式6.已知数列{}na满足112,12nnnaaaa，求数列{}na的通项公式。7.等比数列}{na的各项均为正数，且13221aa，62239aaa，求数列}{na的通项公式8.已知数列}{na满足)1(3,211naaann，求数列}{na的通项公式；9.已知数列}{na满足2122142nnnaaaaa且，（Nn），求数列na的通项公式；10.已知数列}{na满足，21a且1152(5)nnnnaa（Nn），求数列na的通项公式；11.已知数列}{na满足，21a且115223(522)nnnnaa（Nn），求数列na的通项公式；12.数列已知数列na满足111,41(1).2nnaaan则数列na的通项公式=（2）累加法1、累加法适用于：1()nnaafn若1()nnaafn(2)n，则21321(1)(2)()nnaafaafaafn两边分别相加得111()nnkaafn例：1.已知数列{}na满足141,21211naaann，求数列{}na的通项公式。2.已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。3.已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。4.设数列}{na满足21a，12123nnnaa，求数列}{na的通项公式（3）累乘法适用于：1()nnafna若1()nnafna，则31212(1)(2)()nnaaafffnaaa，，，两边分别相乘得，1111()nnkaafka例：1.已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列{}na的通项公式。2.已知数列na满足321a，nnanna11，求na。3.已知31a，nnanna23131)1(n，求na。（4）待定系数法适用于1()nnaqafn解题基本步骤：1、确定()fn2、设等比数列1()nafn，公比为3、列出关系式)]([)1(1211nfanfann4、比较系数求1，25、解得数列1()nafn的通项公式6、解得数列na的通项公式例：1.已知数列{}na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。2.（2006，重庆,文,14）在数列na中，若111,23(1)nnaaan，则该数列的通项na_______________3.（2006.福建.理22.本小题满分14分）已知数列na满足*111,21().nnaaanN求数列na的通项公式；4.已知数列{}na满足112356nnnaaa，，求数列na的通项公式。解：设1152(5)nnnnaxax5.已知数列{}na满足1135241nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。解：设1123(2)nnnnaxyaxy6.已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na7.已知数列{}na满足21123451nnaanna，，求数列{}na的通项公式。解：设221(1)(1)2()nnaxnynzaxnynz8.已知数列{}na满足1112431nnnaaa，，求数列na的通项公式。递推公式为nnnqapaa12（其中p，q均为常数）。先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中s，t满足qstpts9.已知数列{}na满足211256,1,2nnnaaaaa，求数列{}na的通项公式。10.已知数列na满足*12211,3,32().nnnaaaaanN（I）证明：数列1nnaa是等比数列；（II）求数列na的通项公式；11.已知数列na中，11a,22a,nnnaaa313212，求na（5）递推公式中既有nS分析：把已知关系通过11,1,2nnnSnaSSn转化为数列na或nS的递推关系，然后采用相应的方法求解。1.（2005北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，113nnaS，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式．2.（2005山东卷）已知数列na的首项15,a前n项和为nS，且*15()nnSSnnN，证明数列1na是等比数列．3．已知数列na中，，31a前n和1)1)(1(21nnanS①求证：数列na是等差数列②求数列na的通项公式4.已知数列{}na的各项均为正数，且前n项和nS满足1(1)(2)6nnnSaa，且249,,aaa成等比数列，求数列{}na的通项公式。（6）根据条件找1n与n项关系例1.已知数列}{na中，nnaCaa1,111，若21,25nnabC，求数列}{nb的通项公式2.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}na中，11111,(1)2nnnnaaan（I）设nnabn，求数列{}nb的通项公式（7）倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例：1.已知数列{}na满足112,12nnnaaaa，求数列{}na的通项公式。（8）对无穷递推数列消项得到第1n与n项的关系例：1.（2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列{}na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan，，求{}na的通项公式。2.设数列na满足211233333nnnaaaa…，a*N．求数列na的通项；（8）、迭代法例：1.已知数列{}na满足3(1)2115nnnnaaa，，求数列{}na的通项公式。解：因为3(1)21nnnnaa，所以1212(2)(1)32(2)(1)3(3)(2)(1)112(3)(323(1)2323(1)21223(2)23(1)233(2)(1)23323(2)(1)21[][]nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaa2)(1)(1)123!21nnnnna又15a，所以数列{}na的通项公式为(1)123!25nnnnna。（9）、变性转化法1、对数变换法适用于指数关系的递推公式例：已知数列{}na满足5123nnnaa，17a，求数列{}na的通项公式。解：因为511237nnnaaa，，所以100nnaa，。两边取常用对数得1lg5lglg3lg2nnaan2、换元法适用于含根式的递推关系例：已知数列{}na满足111(14124)116nnnaaaa，，求数列{}na的通项公式。解：令124nnba，则21(1)24nnab