华中师范大学数理统计试卷

华中师范大学2009–2010学年第一学期课程名称数理统计课程编号83410012任课教师题型选择题填空题计算题证明题总分分值15154525100得分得分评阅人一、选择题（共5小题，每题3分，共5×3=15分）1．设总体212~,,,n是来自总体的简单随机样本，则0.025/n。（A）0.025(B)0.975(C)0.05(D)0.95解:应选（D）。因为~(0,1)/Nn，所以0.025120.0250.95P2.设随机变量21~()(1),,tnnY则（）。（A）2~()Yn（B）2~(1)Yn(C)~(,1)YFn(D)~(1,)YFn解：应选（C）。因为~(),tn由定义可知：存在两个相互独立的随机变量和Z，其中2~(0,1),~(),NZn使得/Zn。由于221/,ZnY而22~(1),且Z与2相互独立，由F分布的定义，可知~(,1)YFn。3.设总体~(0,9)，从总体中抽取简单随机样本1210,,,,则统计量110223ii服从的分布（）。（A）(0,9)（B）2(10)（C）(9)t（D）(10)t院（系）：专业：年级：学生姓名：学号：-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------解：应选（C）。因为10~(0,1),3102220()~(9)3ii。那么111010222233~(9)()39iiiit4.设212~(0,),,,,n为来自总体的样本，则2无偏估计量为（）。（A）22111ˆ1niin（B）22211ˆniin(C)22311ˆ1niin（D）22421ˆ(1)niinn解：应选（B）。因为222211()()()(())niiDn5.设一批零件的长度服从正态分布2(,)，其中和2均未知。现从中随机抽取16个零件，测得样本均值20()xcm，样本标准差1()scm，则的置信度为0.90的置信区间是（）。（A）0.050.0511(20(16),20(16))44tt（B）0.10.111(20(16),20(16))44tt（C）0.050.0511(20(15),20(15))1515tt（D）0.10.111(20(15),20(15))44tt解：应选（C）。由抽样分布定理，得：22/15(20)~(15)(1)xntnsn给定置信度0.90，使得：0.0515(20)(15)0.1t可得：0.050.0511(20(15),20(15))1515tt是0.90的置信区间第1页(共3页)得分评阅人二、填空题(共5小题,每小题3分，共5×3=15分)1.设)(~mtX,则随机变量2XY服从的分布为(需写出自由度)2.设X为总体)4,3(~NX中抽取的样本(4321,,,XXXX)的均值,则)51(XP＝.3.设总体的密度函数为)1,0(010),(1xxxxf，n,,,21为其样本，则参数的矩法估计为ˆ=__________。4.设总体X～N(，1），一组样本值为-2，1，3，-2，则参数的的置信水平为0.95的置信区间为____________。5.设样本nXXX,,,21来自总体),(~2NX，已知，要对2作假设检验，统计假设为20212020:,:HH，则要用检验统计量为_______,给定显著水平，则检验的拒绝域为____________________________________________。得分评阅人三、计算题（共3小题，每小题15分，共15×3=45分）1.从车床加工某种零件中随机地抽取12个，测得零件的长度（单位：mm）如下：12.0812.0912.1912.1012.0712.0912.0512.2512.2012.0212.2412.12假设该种零件的长度服从正态分布2(,)N，求和2的置信水平为0.90的置信区间。解：已知12,10.90,0.10n。由样本均值算得样本均值和样本方差的观测值分别为12.125，20.076S0.9772),1(mF（--0.98，0.98）niin1lg202nS（--)21(,2)1(n）和（),2(2)1(n）有抽样分布定理得：1~(1)ntnS给定显著性水平0.10，查表得/2(11)1.796t，所以有/2{|1|(1)}0.90PntnS带入数值，即得到的置信水平为0.90的置信区间为（12.084，12.166）。2.为了比较不同季节新生儿的体重的方差，从1975年12月及6月出生的新生儿中分别随机选取6名及10名，测得体重如下：12月3250296025603260396029606月3220322037603000292037403060308029403060假设冬季和夏季出生的儿童分别服从正态分布，问冬季出生的新生儿体重的方差是否不比夏季出生的大（取0.05）？解：2212123158.33,3200,219616.7,93955.56SS假设：22012:H，记22*1111222222/[(1)]/[(1)]nSnFnSn，21112222/(1)/(1)nSnFnSn则有抽样分布定理得，*F服从12(1,1)nnF分布。给定显著性水平，12*(1,1){()}nnPFF，得到(5,9)(0.05)3.481659F。当0H为真时，*FF，则有-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------第2页(共3页)1212*(1,1)(1,1){()}{()}nnnnPFFPFF即0H的检验水平为的否定域为12(1,1){()}{3.481659}nnAFFF，而根据观察值计算得2.3374533.481659F,故接受原假设0H，认为冬季出生的新生儿体重方差比夏季出生的大。3.测得铜导线在温度()iTC时的电阻()iR如表6-1，求电阻R与温度T的近似函数关系(01RaaT)。i0123456iT(℃)19.125.030.136.040.045.150.0)(iR76.3077.8079.2580.8082.3583.9085.10解:列表如下iiTiR2iTiiRT019.176.30364.811457.330125.077.80625.001945.000230.179.25906.012385.425336.080.801296.002908.800440.082.351600.003294.000545.183.902034.013783.890650.085.102500.004255.000245.3565.59325.8320029.445正规方程组为017245.3565.5245.39325.8320029.445aa解方程组得070.572a,10.291a故得R与T的拟合直线为70.5720.291RT得分评阅人四、证明题（共2题，共15+10=25分）1.设某种元件的使用寿命X的概率密度为2()2,(;)0,xexfxx其中0为未知参数，12,,,nXXX……为来自总体X的简单随机样本，求的最大似然估计量^，并证明其不是的无偏性。证明：当样本值(1,2,,)ixin……时，()0L，取对数，得1ln()ln22()niiLnx因为ln()20dLnd，所以()L单调增加。由于必须满足(1,2,)ixin……,，因此12min{,,,}nxxx……。如果取12min{,,,}nxxx……则()L取最大值，所以的最大似然估计为^12min{,,,}nxxx……。总体X的分布函数为12()1,()0,xexFxx，^的分布函数为^2()1,()1[1()]0,nxnezFzFzz^的概率密度为^^2()2,()()0,nznezdfzFzdzz-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------第3页(共3页)因为^^2()1()()22nzEzfzdzznedzn，所以^11min{,,,}nXXX……不是的无偏估计。2．设总体2(,)XN，129,,...,XXX是来自总体X的样本，记1161(...)6YXX，27891()3YXXX，922271()2iiSXY，证明：122()~(2)3YYZtS解：由抽样分布定理得221223~(,),~(,),~(2)63SYNaYNa所以，122~(0,)2YYN于是1212222()/2()2~(2)33/(31)YYYYtSS，即证。