二面角的定义

二面角一、二面角的定义从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角二面角αβι二面角的平面角角的平面角一个平面垂直于二面角的棱，并与两半平面分别相交于射线PA、PB垂足为P，则∠APB叫做二面ABPγβαι二面角二面角二、二面角的求法1、直接法：⑴定义法:a以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA,OB，则∠AOB就是此二面角的平面角。OAB在一个平面内选一点A向另一平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角。ABO⑶垂面法:a过二面角内一点A作AB⊥于B，作AC⊥于C，面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。ABCO⑵三垂线定理法:a二面角的求法ABCOcos(∮)=SS射MN三角形ABC在平面N内的射影为BCO三角形ABC的面积为S，三角形BCO的面积为S射面积法例1.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求（1）平面C1BD与平面ABCD所成角的大小；（2）二面角A－B1D1－C的大小。例题分析A1AC1BCB1D1DPO例2.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别在α、β内引射线PM、PN，且∠MPN=60º∠BPM=∠BPN=45º，求此二面角的度数。βαABPMNCDO解：在PB上取不同于P的一点O，在α内过O作OC⊥AB交PM于C，在β内作OD⊥AB交PN于D，连CD，可得∠COD是二面角α-AB-β的平面角设PO=a，∵∠BPM=∠BPN=45º∴CO=a，DO=a，PCa，PDa22又∵∠MPN=60º∴CD=PCa2∴∠COD=90º因此，二面角的度数为90ºaOPC二面角例3．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。过PA、PB的平面PAB与棱ι交于O点∵PA⊥α∴PA⊥ι∵PB⊥β∴PB⊥ι∴ι⊥平面PAB∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角又∵PA=5，PB=8，AB=721cosP由余弦定理得∴∠P=60º∴∠AOB=120º∴这二面角的度数为120º解：βαABPιO二面角OABPC取AB的中点为E，连PE，OE∵O为AC中点，∠ABC=90º∴OE∥BC且OEBC212221在Rt△POE中，OE，PO22tanPEO∴22∴所求的二面角P-AB-C的正切值为例4．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值。2∴∠PEO为二面角P-AB-C的平面角23在Rt△PBE中，BE，PB=1，PE21OE⊥AB，因此PE⊥ABE解：EOP二面角例5已知：Rt△ABC中，AB=AC=a，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使∠BDC成直角。求证：①平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC②∠BAC=60。证明：①在图乙中∵AD⊥BD，AD⊥DC，∴AD⊥平面BDC，∴平面ABD⊥平面BDC，②在图甲中∵AB=AC=a，∠BAC=90。在图乙中∵△ABC是等边三角形∴∠BAC=60。平面ACD⊥平面BDC。又∵AD平面ABD，AD平面ACD，BD=DC=BC/2=2/2DBACADBC(甲图）（乙图）例6、如图，设E为正方体的边CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。△AB1E在底面A1B1C1D1上的射影为△A1B1C1，故这两个平面所成二面角的余弦值为321111EABCBASSABCDA1B1C1D1EMABCA1B1C1例7：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=900，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成300角，求二面角B-B1C-A的正弦值NQ分析：易知，平面ABC与平面BCC1B1垂直故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线。h=1/3×2×，解：由直三棱柱性质得平面ABC⊥平面BCC1B1，过A作AN⊥平面BCC1B1，垂足为N，则AN⊥平面BCC1B1，（AN即为我们要找的垂线）在平面BCB1内过N作NQ棱B1C，垂足为Q，连QA，则NQA即为二面角的平面角。∵AB1在平面ABC内的射影为AB，CAAB，∴CAB1A，AB=BB1=1，得AB1=。∵直线B1C与平面ABC成300角，∴B1CB=300，B1C=2，Rt△B1AC中，由勾股定理得AC=，∴AQ=1。在Rt△BAC中，AB=1，AC=，得AN=。sinAQN=。即二面角B-B1C-A的正弦值为。363636221、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为:A.∠ABPB.∠ACPC.都不是练习2、已知P为二面角内一点，且P到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？pαβιABOABCP60º二面角二、二面角的平面角一、二面角的定义从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角1、定义2、求二面角的平面角方法①点P在棱上②点P在一个半平面上③点P在二面角内ABPγβαι小结αβιABαβιpιpαβABpαβιABO—定义法—三垂线定理法—垂面法二面角几点说明：⑴定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。⑵三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。⑶垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用。⑷以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。⑸间接法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。二面角的求法ABCDAB=AD，BC=CD已知三个侧面的顶角,求相邻两个侧面所成的角注意一些全等三角形或相似三角形,PAB已知:四棱锥P-ABCD的底面ABCD是AB=2,BC=2的矩形侧面是等边三角形,且侧面PAB底面ABCD.求平面PAB与平面PCD所成二面角的平面角的正弦值.ＰＤＦＣＡＥＢ如下图：ＡＢＣＤ是正方形，Ｖ是平面ＡＢＣＤ外一点，且ＶＡ＝ＡＢ＝ＶＣ＝ＡＢ，求二面角Ａ－ＶＢ－Ｃ的大小。ＶＤＡＥＣＢ,,,,,,,2,:;(2)ABCABBCDESCACSCDESAABaBCaSCBDE在三棱角S-ABC中,SA平面垂直平分且分别交于又(1)求证平面求平面BDE与平面BDC所成的二面角大小.