二面角课件1

1、掌握二面角定义及其表示方法；2、掌握二面角的平面角定义；3、初步掌握二面角的求法。问题提出1.空间两个平面有平行、相交两种位置关系，对于两个平面平行，我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上有进一步的认识.人造卫星轨道赤道高速公路2.天上运行的卫星轨道与地球赤道；高速公路与为防止山体滑坡用石块修筑的护坡斜面；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度……如何从数学的观点认识这种现象？知识探究（一）：二面角的有关概念思考1:直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线.平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫什么名称？半平面半平面射线射线思考2:将一条线段沿线上一点折起，得到的平面图形是一个角，如果我们将一个矩形纸板面沿面上的一条线折起，就可以得到一个空间图形就是一个二面角思考3:在平面几何中，我们把角定义为“从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角”，按照这种定义方式，二面角的定义如何？从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角思考4:下列两个二面角在摆放上有什么不同？（二面角的画法）lαβαβl直立式平卧式思考5:一个二面角是由一条直线和两个半平面组成，其中直线l叫做二面角的棱，两个半平面α、β都叫做二面角的面，二面角通常记作“二面角α-l-β”.lαβ棱面两个相交平面共组成几个二面角？αβθγl二面角α-l-βα-l-θα-l-α……小结填表：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形。从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形。射线—点（顶点）—射线半平面—线(棱)—半平面∠AOB二面角α-a-β知识探究（二）二面角的平面角思考6:柱体两侧面之间构成二面角；把书打开，相邻两页书也构成二面角.随着打开的程度不同，可得到不同的二面角，上述变化过程中图形在变化，形成的“角度”的大小如何来确定？思考7:我们设想用一个平面（的）角来反映二面角的两个半平面的相对倾斜度，那么平面角的顶点应选在何处？角的两边在如何分布？lαβ如何调整OA、OB的位置，使∠AOB被二面角α-l-β唯一确定？这个角的大小是否与顶点O在棱上的位置有关？lαβOABlαβOAB思考8:在二面角α-l-β的棱上取一点O，过点O分别在二面角的两个面内任作两条射线OA，OB，能否用∠AOB来刻画二面角的张开程度？∠AOB是变的，二面角的张开程度唯一思考9:上面所作的角叫做二面角的平面角，你能给二面角的平面角下个定义吗？以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.lαβOAB思考10:二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.当二面角的两个面重合时，二面角的大小为多少度，当二面角的两个面合成一个平面时，二面角的大小为多少度？一般地，二面角的平面角的取值范围如何？[0,180]思考11:如图，过二面角α-l-β一个面内一点A，作另一个面的垂线，垂足为B，过点B作棱的垂线，垂足为O，连结AO，则∠AOB是二面角的平面角吗？为什么？ABOlαβ∵OB⊥l∴OA⊥l三垂线定理∵OB⊥l∴OA⊥l三垂线定理思考12:如图，平面γ垂直于二面角的棱l，分别与面α、β相交于OA、OB，则∠AOB是二面角的平面角吗？为什么？αβlAOBγαβ∵l⊥面γ∴l⊥面γ内的所有直线l二面角的平面角的作法：1、定义法3、垂面法2、三垂线定理法PABO例1.如图ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD,则(1)面PAB与面ABCD所成二面角的平面角是______,(2)面PBC与面ABCD所成二面角的平面角是______,(3)面PAC与面ACD所成的二面角的平面角是_____.ABCDPOPADPCDPODAOD例2已知锐二面角－l－，A为面内一点，A到的距离为2，到l的距离为4，求二面角－l－的大小。3解：过A作AO⊥于O，过O作OD⊥l于D，连AD则由三垂线定理得AD⊥l3∴AO=2，AD=4∵AO为A到的距离，AD为A到l的距离∴∠ADO就是二面角－l－的平面角∵sin∠ADO=∴∠ADO=60°∴二面角－l－的大小为60°在Rt△ADO中，43223AOAD①②③l求二面角的步骤：1、找到或作出二面角的平面角2、证明1中的角就是所求的角3、计算出此角的大小一“作”二“证”三“计算”如图ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD,PD=DC＝1(1)求二面角P-AC-D的大小(2)ABCDPOarctan2DOP分析：连PO，易证DO⊥AC,PO⊥AC∴∠DOP就是所求二面角的平面角如图ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD,PD=DC＝1(1)求二面角P-AC-D的大小ABCDPO面BEPC面AEPDE045CPD无棱二面角？？如何入手好？？(2)求面BPC与面APD所成角的大小有棱了，PE！且DP⊥PE,CP⊥PE如图ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD,PD=DC(1)求二面角P-AC-D的大小(2)求面BPC与面APD所成角的大小ABCDPO讨论：求解无棱二面角的其它方法：1.用空间向量，2.面积射影法无棱二面角例在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B1-AC-B大小的正切值.AA1BCDB1C1D1O2•小结二面角一、二面角的定义：二、二面角的表示方法：三、二面角的平面角：四、二面角的平面角的作法：五、二面角的计算：二面角－AB－二面角－l－1、根据定义作出来2、利用直线和平面垂直作出来3、借助三垂线定理或其逆定理作出来1、找到或作出二面角的平面角2、证明1中的角就是所求的角3、计算所求的角（利用三角形）空间向量法、面积射影法（下节课内容）从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。221、二面角的平面角必须满足三个条件2、二面角的平面角的大小与其顶点在棱上的位置无关3、二面角的大小用它的平面角的大小来度量作业:P525