专题4.2-同角三角函数的基本关系式与诱导公式---2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)

1第四篇三角函数与解三角形专题4.02同角三角函数基本关系式与诱导公式【考试要求】1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα；2.能利用定义推导出诱导公式α±π2，α±π的正弦、余弦、正切.【知识梳理】1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sinαcosα＝tanα.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【微点提醒】1.同角三角函数关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角.()(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.()2(3)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立.()(4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sinα＝13.()【教材衍化】2.(必修4P21A12改编)已知tanα＝－3，则cos2α－sin2α＝()A.45B.－45C.35D.－353.(必修4P29B2改编)已知α为锐角，且sinα＝45，则cos(π＋α)＝()A.－35B.35C.－45D.45【真题体验】4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sinα－cosα＝43，则sin2α＝()A.－79B.－29C.29D.7935.(2019·济南质检)若sinα＝－513，且α为第四象限角，则tanα＝()A.125B.－125C.512D.－5126.(2018·上海嘉定区月考)化简：sin2(α＋π)·cos(π＋α)·cos(－α－2π)tan(π＋α)·sin3π2＋α·sin(－α－2π)＝________.【考点聚焦】考点一同角三角函数基本关系式角度1公式的直接运用【例1－1】(2018·延安模拟)已知α∈－π，－π4，且sinα＝－13，则cosα＝()A.－223B.223C.±223D.23角度2关于sinα，cosα的齐次式问题【例1－2】已知tanαtanα－1＝－1，求下列各式的值.(1)sinα－3cosαsinα＋cosα；(2)sin2α＋sinαcosα＋2.4角度3“sinα±cosα，sinαcosα”之间的关系【例1－3】已知x∈(－π，0)，sinx＋cosx＝15.(1)求sinx－cosx的值；(2)求sin2x＋2sin2x1－tanx的值.【规律方法】1.同角三角函数关系的用途：根据已知角的一个三角函数值求解另外的三角函数值，对三角函数式进行变换.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化.(2)利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化.2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.【训练1】(1)(2019·烟台测试)已知sinαcosα＝18，且5π4α3π2，则cosα－sinα的值为()A.－32B.32C.－34D.34(2)已知sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，则cos2α＋12sin2α的值是()A.35B.－35C.－3D.35考点二诱导公式的应用【例2】(1)设f(α)＝2sin（π＋α）cos（π－α）－cos（π＋α）1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(1＋2sinα≠0)，则f76π＝________.(2)已知cosπ6－θ＝a，则cos5π6＋θ＋sin2π3－θ的值是________.【规律方法】1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.2.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.【训练2】(1)(2019·衡水中学调研)若cosπ2－α＝23，则cos(π－2α)＝()A.29B.59C.－29D.－59(2)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sinα＝13，则sinβ＝________.6考点三同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用【例3】(1)(2019·菏泽联考)已知α∈3π2，2π，sinπ2＋α＝13，则tan(π＋2α)＝()A.427B.±225C.±427D.225(2)(2019·福建四地六校联考)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cosπ2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是()A.355B.377C.31010D.13(3)已知－πx0，sin(π＋x)－cosx＝－15.①求sinx－cosx的值；②求sin2x＋2sin2x1－tanx的值.【规律方法】1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.2.(1)注意角的范围对三角函数值符号的影响，开方时先判断三角函数值的符号；(2)熟记一些常见互补的角、互余的角，如π3－α与π6＋α互余等.7【训练3】(1)(2019·湖北七州市联考)已知α∈(0，π)，且cosα＝－513，则sinπ2－α·tanα＝()A.－1213B.－513C.1213D.513(2)已知θ是第四象限角，且sinθ＋π4＝35，则tanθ－π4＝________.【反思与感悟】1.同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明.2.三角函数求值、化简的常用方法：(1)弦切互化法：主要利用公式tanx＝sinxcosx进行切化弦或弦化切，如asinx＋bcosxcsinx＋dcosx，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等类型可进行弦化切.(2)和积转换法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化.(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ(1＋1tan2θ)＝tanπ4等.【易错防范】1.利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周8—化锐.特别注意函数名称和符号的确定.2.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟)一、选择题1.sin600°的值为()A.－12B.－32C.12D.322.已知直线2x－y－1＝0的倾斜角为α，则sin2α－2cos2α＝()A.25B.－65C.－45D.－1253.1－2sin(π＋2)cos(π－2)＝()A.sin2－cos2B.sin2＋cos2C.±(sin2－cos2)D.cos2－sin24.已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|π2，则θ等于()A.－π6B.－π3C.π6D.π395.已知sinα＋π3＝1213，则cosπ6－α＝()A.513B.1213C.－513D.－12136.(2019·兰州质检)向量a＝13，tanα，b＝(cosα，1)，且a∥b，则cosπ2＋α＝()A.－13B.13C.－23D.－2237.已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2020)的值为()A.－1B.1C.3D.－3二、填空题8.(2019·广东七校联考)已知sinα＝－1213，且α为第三象限的角，则tanα＝________.109.已知tanπ6－α＝33，则tan56π＋α＝________.10.已知sinθ＋cosθ＝43，θ∈0，π4，则sinθ－cosθ的值为________.11.已知tanθ＝3，则cos3π2＋2θ＝________.12.(2019·邯郸一模)若sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，且α，β∈0，π2，则tanαtanβ＝________.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为()A.1＋5B.1－5C.1±5D.－1－514.已知sin－π2－αcos－7π2＋α＝1225，且0απ4，则sinα＝________，cosα＝________.1115.已知k∈Z，化简：sin（kπ－α）cos[（k－1）π－α]sin[（k＋1）π＋α]cos（kπ＋α）＝________.16.是否存在α∈－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cosπ2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由.【新高考创新预测】17.(多填题)已知sinα＝23，α∈0，π2，则cos(π－α)＝________，cos2α＝________.