专题4.3-两角和与差的正弦、余弦、正切公式---2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(

1第四篇三角函数与解三角形专题4.03两角和与差的正弦、余弦和正切公式【考试要求】1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义；2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．【知识梳理】1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ.tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin__αcosα.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝2tanα1－tan2α.3.函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)其中tanφ＝ba或f(α)＝a2＋b2·cos(α－φ)其中tanφ＝ab.【微点提醒】1.tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ).2.cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.3.1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)2(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.()(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立.()(3)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立.()(4)存在实数α，使tan2α＝2tanα.()【教材衍化】2.(必修4P127T2改编)若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sinα＋π4等于()A.－210B.210C.－7210D.72103.(必修4P146A4(2)改编)tan20°＋tan40°＋3tan20°·tan40°＝________.【真题体验】4.(2018·全国Ⅲ卷)若sinα＝13，则cos2α＝()A.89B.79C.－79D.－895.(2019·青岛一模)已知角α是终边经过点P(sin47°，cos47°)，则sin(α－13°)＝()A.12B.32C.－12D.－3236.(2018·全国Ⅱ卷)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.【考点聚焦】考点一三角函数式的化简【例1】(1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.(2)化简：（1＋sinα＋cosα）·cosα2－sinα22＋2cosα(0απ)＝________.【规律方法】1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.2.化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.【训练1】(1)cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝()A.sin(α＋2β)B.sinαC.cos(α＋2β)D.cosα(2)化简：2cos4α－2cos2α＋122tanπ4－αsin2π4＋α＝________.4考点二三角函数式的求值角度1给角(值)求值【例2－1】(1)计算：cos10°－3cos（－100°）1－sin10°＝________.(2)(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55.①求cos2α的值；②求tan(α－β)的值.5角度2给值求角【例2－2】(1)(2019·河南六市联考)已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，若0βαπ2，则β＝________.(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－β的值为________.【规律方法】1.“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.2.“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好.【训练2】(1)(2019·天津河西区模拟)tan70°·cos10°(3tan20°－1)等于()A.1B.2C.－1D.－2(2)已知α，β为锐角，cosα＝17，且sin(α＋β)＝5314，则角β＝________.(3)若2cos2θcosπ4＋θ＝3·sin2θ，则sin2θ＝()A.13B.23C.－23D.－136考点三三角恒等变换的简单应用【例3】(2019·杭州模拟)设函数f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋23sinωxcosωx＋λ的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈12，1.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点π4，0，求函数f(x)在区间0，3π5上的最值.【规律方法】1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.2.把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.【训练3】(2017·北京卷)已知函数f(x)＝3cos2x－π3－2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求证：当x∈－π4，π4时，f(x)≥－12.7【反思与感悟】1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.2.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.【易错防范】1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变通.2.在(0，π)范围内，sinα＝22所对应的角α不是唯一的.3.在三角求值时，往往要借助角的范围确定三角函数值的符号或所求角的三角函数的名称.【核心素养提升】【逻辑推理与数学运算】——缩小角的范围常用策略在运用平方关系和由三角函数值求角时都要注意角的范围.如果条件中角的范围恰好能够使用，那么就能顺势求解题目.但绝大部分题目都会设置一定的障碍，特别是角的范围，往往所给的范围较大，需要根据条件缩小范围.类型1由三角函数值的符号缩小角的范围【例1】(一题多解)已知α，β∈(0，π)，tanα＝2，cosβ＝－7210，求2α－β的值.8【评析】三角函数值的符号与角的范围有直接关系，借助三角函数值的符号可有效缩小角的范围.本题缩小角的范围分为两层：先由条件中tanα，cosβ的符号缩小α，β的范围，得到α－β的范围，再由α－β的范围，结合tan(α－β)的符号进而缩小α－β的范围，得到2α－β的范围.难点是想到缩小α－β的范围.另外，本题还可以采用缩小三角函数值的范围来缩小角的范围.法二较法一在求角的范围上运算量小了许多，这也显示出运用三角函数值的范围缩小角的范围的优势.类型2由三角函数值及特殊角的三角函数值缩小范围【例2】设α，β∈(0，π)，sin(α＋β)＝513，tanα2＝12，则cosβ＝________.【评析】本题缩小角的范围分为两层：(1)由cosα＝35∈12，22，结合α∈(0，π)，缩小角α的范围，得到α＋β的范围；(2)由sin(α＋β)＝513∈0，12，结合α＋β∈π4，4π3上不单调，解决办法是画图.【分层训练】9【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.若tanθ＝－13，则cos2θ＝()A.－45B.－15C.15D.452.(2019·北京海淀区)若cosα＋π3＝45，则cosπ3－2α＝()A.2325B.－2325C.725D.－7253.(2019·日照调研)sin10°1－3tan10°＝()A.14B.12C.32D.14.(2019·信阳一模)函数f(x)＝3sinx2cosx2＋4cos2x2(x∈R)的最大值等于()A.5B.92C.52D.25.(2019·济南模拟)若sinA＋π4＝7210，A∈π4，π，则sinA的值为()10A.35B.45C.35或45D.34二、填空题6.(2017·江苏卷)若tanα－π4＝16，则tanα＝________.7.化简：2sin（π－α）＋sin2α2cos2α2＝________.8.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈0，π2，tanα＝2，则cosα－π4＝________.三、解答题9.(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P－35，－45.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cosβ的值.1110.已知函数f(x)＝(2cos2x－1)·sin2x＋12cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)若α∈(0，π)，且fα4－π8＝22，求tanα＋π3的值.12【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.若点(θ，0)是函数f(x)＝sinx＋2cosx图象的一个对称中心，则cos2θ＋sinθcosθ＝()A.1110B.－1110C.1D.－112.(一题多解)已知θ是第四象限角，且sinθ＋π4＝35，则tanθ－π4＝()A.43B.－43C.－34D.3413.(2019·广东七校联考)已知sinα＋π6＋cosα＝－33，则cosπ6－α＝________.1314.(2019·烟台二中月考)已知函数f(x)＝a＋2cos2x2·cos(x＋θ)为奇函数，且fπ2＝0，其中a∈R，θ∈(0，π).(1)求a，θ的值；(2)若α∈π2，π，fα2＋π8＋25cosα＋π4cos2α＝0，求cosα－sinα的值.【新高考创新预测】15.(试题创新)设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为()A.[－2，1]B.[－1，2]C.[－1，1]D.[1，2]