专题4.6-正弦定理和余弦定理---2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(原卷版)

1第四篇三角函数与解三角形专题4.06正弦定理和余弦定理【考试要求】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.【知识梳理】1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式asinA＝bsinB＝csinC＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab2.S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥baba≤b解的个数一解两解一解一解无解【微点提醒】1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sinA＋B2＝cosC2；(4)cosA＋B2＝sinC2.2.三角形中的射影定理2在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，AB⇔ab⇔sinAsinB⇔cosAcosB.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在△ABC中，若sinAsinB，则AB.()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当b2＋c2－a20时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a20时，△ABC为钝角三角形.()【教材衍化】2.(必修5P10A4改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝()A.π6B.π3C.2π3D.5π63.(必修5P10B2改编)在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为________.【真题体验】4.(2018·烟台质检)已知△ABC中，A＝π6，B＝π4，a＝1，则b等于()3A.2B.1C.3D.25.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A.42B.30C.29D.256.(2019·荆州一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝22，cosA＝34，sinB＝2sinC，则△ABC的面积是________.【考点聚焦】考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝6，c＝3，则A＝________.(2)(2019·枣庄二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则A＝()A.π6B.π3C.5π6D.2π3(3)(2018·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为a2＋b2－c24，则C＝()A.π2B.π3C.π4D.π6【规律方法】1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.42.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.【训练1】(1)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝2，则C＝()A.π12B.π6C.π4D.π3(2)(2019·北京海淀区二模)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若2cos2A＋B2－cos2C＝1，4sinB＝3sinA，a－b＝1，则c的值为()A.13B.7C.37D.6(3)在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝45°，则满足条件的三角形有()A.1个B.2个C.0个D.无法确定考点二判断三角形的形状【例2】(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcosA，则△ABC为()5A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【规律方法】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.【训练2】若将本例(2)中条件变为“c－acosB＝(2a－b)cosA”，判断△ABC的形状.考点三和三角形面积、周长有关的问题多维探究角度1与三角形面积有关的问题6【例3－1】(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋3cosA＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.角度2与三角形周长有关的问题【例3－2】(2018·上海嘉定区模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB＝3bcosA.若a＝4，则△ABC周长的最大值为________.【规律方法】1.对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.2.与面积周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【训练3】(2019·潍坊一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cosB＋bcosA＝0.(1)求B；(2)若b＝3，△ABC的周长为3＋23，求△ABC的面积.7【反思与感悟】1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.2.在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解.3.在△ABC中，若a2＋b2c2，由cosC＝a2＋b2－c22ab0，可知角C为钝角，则△ABC为钝角三角形.【易错防范】1.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论.另外三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止出现增解等扩大范围的现象.2.在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，cosA＝23，则b＝()A.2B.3C.2D.382.在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形3.(2019·石家庄一模)在△ABC中，AB＝2，C＝π6，则AC＋3BC的最大值为()A.7B.27C.37D.474.(2019·济宁模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝π3，3sin2CcosC＝2sinAsinB，且b＝6，则c＝()A.2B.3C.4D.695.(2018·全国Ⅰ卷改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为()A.33B.233C.36D.433二、填空题6.(2018·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝7，b＝2，A＝60°，则sinB＝________，c＝________.107.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若sinAsinB＝5c2b，sinB＝74，S△ABC＝574，则b的值为________.8.若不等式ksin2B＋sinAsinC19sinBsinC对任意△ABC都成立，则实数k的最小值为________.三、解答题9.(2018·北京卷)在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝－17.(1)求∠A；(2)求AC边上的高.10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2－ab－2b2＝0.(1)若B＝π6，求A，C；(2)若C＝2π3，c＝14，求S△ABC.11【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝223，bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆面积为()A.4πB.8πC.9πD.36π12.(2019·武汉模拟)在△ABC中，C＝2π3，AB＝3，则△ABC的周长为()A.6sinA＋π3＋3B.6sinA＋π6＋3C.23sinA＋π3＋3D.23sinA＋π6＋313.(2019·长春一模)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若12b－sinCcosA＝sinAcosC，且a＝23，则△ABC面积的最大值为________.1214.(2018·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acosB－π6.(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值.【新高考创新预测】15.(数学文化)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝14a2c2－a2＋c2－b222.若a2sinC＝4sinA，(a＋c)2＝12＋b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为________.