专题5.2-等差数列及其前n项和---2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(原卷版)

1第五篇数列及其应用专题5.02等差数列及其前n项和【考试要求】1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.体会等差数列与一次函数的关系.【知识梳理】1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝a＋b2.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋n（n－1）d2＝n（a1＋an）2.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Snn也为等差数列.【微点提醒】1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).2【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.()(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()【教材衍化】2.(必修5P46A2改编)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于()A.31B.32C.33D.343.(必修5P68A8改编)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.【真题体验】4.(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A.－12B.－10C.10D.1235.(2019·上海黄浦区模拟)已知等差数列{an}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{an}的公差为()A.－3B.－52C.－2D.－46.(2019·苏北四市联考)在等差数列{an}中，已知a3＋a80，且S90，则S1，S2，…，S9中最小的是______.【考点聚焦】考点一等差数列基本量的运算【例1】(1)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()A.1B.2C.4D.8(2)(2019·潍坊检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝()A.9B.10C.11D.15【规律方法】1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【训练1】(1)等差数列log3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)，…的第四项等于()4A.3B.4C.log318D.log324(2)(一题多解)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________.考点二等差数列的判定与证明【例2】(经典母题)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝12.(1)求证：1Sn成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式.【迁移探究1】本例条件不变，判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由.5【迁移探究2】本例中，若将条件变为a1＝35，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，试求数列{an}的通项公式.【规律方法】1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数.(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到结论：(1)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列.(2)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.【训练2】(2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列.6考点三等差数列的性质及应用角度1等差数列项的性质【例3－1】(2019·临沂一模)在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则a2＋a14的值为()A.6B.12C.24D.48角度2等差数列和的性质【例3－2】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()A.63B.45C.36D.27【规律方法】1.项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.2.和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)an.【训练3】(1)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2015，S20152015－S20092009＝6，则S2019＝________.(2)(2019·荆州一模)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，则a12的值是()A.15B.30C.31D.64(3)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若SnTn＝3n－22n＋1，则a7b7等于()A.3727B.1914C.3929D.437考点四等差数列的前n项和及其最值【例4】(2019·衡水中学质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，常数λ0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设a10，λ＝100，当n为何值时，数列lg1an的前n项和最大？【规律方法】求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法：(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn(a≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求Sn的最值.①当a10，d0时，满足am≥0，am＋1≤0的项数m使得Sn取得最大值为Sm(当am＋1＝0时，Sm＋1也为最大值)；②当a10，d0时，满足am≤0，am＋1≥0的项数m使得Sn取得最小值为Sm(当am＋1＝0时，Sm＋1也为最小值).8【训练4】(1)等差数列{an}的公差d≠0，且a3，a5，a15成等比数列，若a5＝5，Sn为数列{an}的前n项和，则数列Snn的前n项和取最小值时的n为()A.3B.3或4C.4或5D.5(2)已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和Sn的最大值为________.【反思与感悟】1.证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前n项和Sn＝An2＋Bn及通项an＝pn＋q来判断一个数列是否为等差数列.2.等差数列基本量思想(1)在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a1，d的方程组进行求解.(2)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a－d，a，a＋d.若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.(3)灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量.【易错防范】1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an＋1－an＝d(n≥2)时，应注意验证a2－a1是否等9于d，若a2－a1≠d，则数列{an}不为等差数列.2.利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝()A.100B.99C.98D.972.(2019·淄博调研)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a6a5＝911，则S11S9＝()A.1B.－1C.2D.123.(2019·中原名校联考)若数列{an}满足1an＋1－1an＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为调和数列，已知数列1xn为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝()A.10B.20C.30D.404.(2019·北京海淀区质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到10小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是()A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，S99－S55＝－4，则Sn取最大值时的n为()A.4B.5C.6D.4或5二、填空题6.已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为________.7.已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝2anan＋1，则a6＝________.118.设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________.三、解答题9.等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.10.已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.(1)求a及k的值；(2)设数列{bn}的通项公式bn＝Snn，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.12【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·济宁模拟)设数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，则a18＝()A.259B.269C.3D.28912.(2019·青岛诊断)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn(n∈N*)，若SnTn＝2n－1n＋1，则a12b6＝()A.154B.158C.237D.313.设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.14.(2019·长沙雅礼中学模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＋a13＝26，S9＝81.(1)求{an}的通项公式；(2)令bn＝1an＋1an＋2，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，若30Tn－m≤0对一切n∈N*成立，求实数m的最小值.13【新高考创新预测】15.(多填题)设Sn为等差数列{an}的前n项和，满足S2＝S6，S55－S44＝2，则a1＝________，公差d＝________.