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1第五篇数列及其应用专题5.03等比数列及其前n项和【考试要求】1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.体会等比数列与指数函数的关系.【知识梳理】1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：anan－1＝q(n≥2，q为非零常数).(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝±ab.2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；通项公式的推广：an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q.3.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.【微点提醒】1.若数列{an}为等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a2n}，1an也是等比数列.2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.【疑误辨析】21.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)等比数列公比q是一个常数，它可以是任意实数.()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.()(3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a(1－an)1－a.()(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.()【教材衍化】2.(必修5P53A1(2)改编)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q等于()A.－12B.－2C.2D.123.(必修5P54A8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________.【真题体验】4.(2019·天津和平区质检)已知等比数列{an}满足a1＝1，a3·a5＝4(a4－1)，则a7的值为()A.2B.4C.92D.65.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单3音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为()A.32fB.322fC.1225fD.1227f6.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn＝126，则n＝________.【考点聚焦】考点一等比数列基本量的运算【例1】(1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.(2)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝74，S6＝634，则a8＝________.【规律方法】1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝a1(1－qn)1－q＝a1－anq1－q.【训练1】(1)等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3＝8a1＋3a2，a4＝16，则S4＝()A.9B.15C.18D.304(2)(2017·北京卷)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则a2b2＝________.考点二等比数列的判定与证明【例2】已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝3132，求λ.【规律方法】1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.【训练2】(2019·广东省级名校联考)已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4.(1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列；(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.5考点三等比数列的性质及应用【例3】(1)等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝()A.12B.10C.8D.2＋log35(2)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝()A.40B.60C.32D.50【规律方法】1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.【训练3】(1)(2019·菏泽质检)在等比数列{an}中，若a3，a7是方程x2＋4x＋2＝0的两根，则a5的值是()A.－2B.－2C.±2D.2(2)(一题多解)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3＝3，则S9S6＝________.6【反思与感悟】1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.(1)方程思想：如求等比数列中的基本量.(2)分类讨论思想：如求和时要分q＝1和q≠1两种情况讨论，判断单调性时对a1与q分类讨论.【易错防范】1.特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况.2.Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比数列(例如：当公比q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列；当q≠－1或q＝－1时且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列)，但等式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)总成立.【核心素养提升】【数学运算】——等差(比)数列性质的应用1.数学运算是指在明析运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.本系列数学运算主要表现为：理解数列问题，掌握数列运算法则，探究运算思路，求得运算结果.通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展.2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想.7类型1等差数列两个性质的应用在等差数列{an}中，Sn为{an}的前n项和：(1)S2n－1＝(2n－1)an；(2)设{an}的项数为2n，公差为d，则S偶－S奇＝nd.【例1】(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a2m＝0，S2m－1＝38，则m＝________.(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d＝________.类型2等比数列两个性质的应用在等比数列{an}中，(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则an·am＝ap·aq；(2)当公比q≠－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(n∈N*).【例2】(1)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于()A.6B.5C.4D.3(2)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于()A.18B.－18C.578D.558类型3等比数列前n项和Sn相关结论的活用(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.若共有2n项，则S偶∶S奇＝q.(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm(q为公比).【例3】(1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.(2)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列1an的前5项和为________.8【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为()A.8B.9C.10D.112.已知各项均为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为22，则2a7＋a11的最小值为()A.16B.8C.22D.43.(2019·上海崇明区模拟)已知公比q≠1的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝3a3，则S5＝()A.1B.5C.3148D.11164.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是9上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏5.(2019·深圳一模)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1＋b，则ab＝()A.－3B.－1C.1D.3二、填空题6.等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，12a3，2a2成等差数列，则a13＋a14a14＋a15＝________.7.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝1(n∈N*)，则通项an＝________.108.(2018·南京模拟)已知数列{an}中，a1＝2，且a2n＋1an＝4(an＋1－an)(n∈N*)，则其前9项的和S9＝________.三、解答题9.(2018·全国Ⅲ卷)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm＝63，求m.10.已知数列{an}中，点(an，an＋1)在直线y＝x＋2上，且首项a1＝1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1＝a1，b2＝a2，数列{bn}的前n项和为Tn，请写出适合条件Tn≤Sn的所有n的值.11【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.已知等比数列{an}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为Tn，且a2a4＝a3，则使得T11的n的最小值为()A.4B.5C.6D.712.数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a21＋a22＋a23＋…＋a2n等于()A.(3n－1)2B.12(9n－1)C.9n－1D.14(3n－1)13.(2019·华大新高考联盟质检)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3a11＝2a25，且S4＋S12＝λS8，则λ＝______.14.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋λ(λ为常数).(1)试探究数列{an＋λ}是不是等比数列，并求an；(2)当λ＝1时，求数列{n(an＋λ)}的前n项和Tn.12【新高考创新预测】15.(创新思维)已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ea1＋a2＋a3.若a11，则下列选项可能成立的是()A.a1a2a3a4B.a1＝a2＝a3＝a4