专题6.2-平面向量基本定理及坐标表示---2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(原卷版

1第六篇平面向量与复数专题6.02平面向量基本定理及坐标表示【考试要求】1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.【知识梳理】1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.4.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.【微点提醒】1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且a＝b，则x1＝x2且y1＝y2.2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.2【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.()(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成x1x2＝y1y2.()【教材衍化】2.(必修4P118A2(6)改编)下列各组向量中，可以作为基底的是()A.e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D.e1＝(2，－3)，e2＝12，－343.(必修4P99例8改编)设P是线段P1P2上的一点，若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为()A.(2，2)B.(3，－1)C.(2，2)或(3，－1)D.(2，2)或(3，1)3【真题体验】4.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝()A.(－7，－4)B.(7，4)C.(－1，4)D.(1，4)5.(2017·山东卷)已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝________.6.(2019·苏州月考)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________.【考点聚焦】考点一平面向量基本定理及其应用【例1】(1)(2019·衡水中学调研)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若AB→＝2AE→，AD→＝3AF→，AM→＝λAB→－μAC→(λ，μ∈R)，则52μ－λ＝()A.－12B.1C.32D.－3(2)(2019·北京海淀区调研)在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且AD→＝13AB→＋12AC→.延长AD交BC于E，若AE→＝λAB→＋μAC→，则λ－μ的值是________.4【规律方法】1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【训练1】(1)(2019·济南质检)在△ABC中，AN→＝14NC→，若P是直线BN上的一点，且满足AP→＝mAB→＋25AC→，则实数m的值为()A.－4B.－1C.1D.4(2)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足OC→＝23OA→＋13OB→，则|AC→||AB→|＝________.考点二平面向量的坐标运算【例2】(1)设A(0，1)，B(1，3)，C(－1，5)，D(0，－1)，则AB→＋AC→等于()A.－2AD→B.2AD→C.－3AD→D.3AD→(2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝()A.1B.2C.3D.45【规律方法】1.巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.2.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.【训练2】(1)已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|BC→|＝2|AC→|，则向量OB→的坐标是________.(2)(2019·天津和平区一模)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若CA→＝λCE→＋μDB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为()A.65B.85C.2D.83考点三平面向量共线的坐标表示多维探究角度1利用向量共线求向量或点的坐标【例3－1】(一题多解)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________.角度2利用向量共线求参数6【例3－2】(1)(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝________.(2)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－3b共线，则mn＝________.【规律方法】1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.【训练3】(1)(2019·北师大附中检测)已知向量a＝(1，1)，点A(3，0)，点B为直线y＝2x上的一个动点，若AB→∥a，则点B的坐标为________.(2)设向量OA→＝(1，－2)，OB→＝(2m，－1)，OC→＝(－2n，0)，m，n∈R，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则m＋n的最大值为()A.－3B.－2C.2D.37【反思与感悟】1.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.2.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.3.用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式.【易错防范】1.注意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2－x2y1＝0.2.要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟)一、选择题1.向量a，b满足a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，则b为()A.(－3，4)B.(3，4)C.(3，－4)D.(－3，－4)2.已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与AB→同方向的单位向量是()A.35，－45B.45，－35C.－35，45D.－45，3583.已知向量a＝(2，1)，b＝(3，4)，c＝(1，m)，若实数λ满足a＋b＝λc，则λ＋m等于()A.5B.6C.7D.84.已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，则mn＝()A.－12B.12C.－2D.26.已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若AP→＝AB→＋λAC→(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为()A.23B.－23C.32D.－3297.(2019·河北豫水中学质检)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设AD→＝λAB→＋μAC→(λ，μ∈R)，则λμ＝()A.233B.33C.3D.238.在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记AB→，BC→分别为a，b，则AH→＝()A.25a－45bB.25a＋45bC.－25a＋45bD.－25a－45b二、填空题9.(2019·安徽江南十校联考)已知平面向量a＝(1，m)，b＝(2，5)，c＝(m，3)，且(a＋c)∥(a－b)，则m＝________.1010.已知A(2，3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|＝32|BP|，则点P的坐标为________.11.已知A(1，1)，B(3，－1)，C(a，b)，若A，B，C三点共线，则a，b的关系式为________.12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，则角C＝________.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.如图，在△ABC中，AD→＝23AC→，BP→＝13BD→，若AP→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ的值为()11A.89B.49C.83D.4314.给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB︵上运动，若OC→＝xOA→＋yOB→，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是()A.1B.2C.3D.215.已知|OA→|＝1，|OB→|＝3，OA→·OB→＝0，点C在∠AOB内，且OC→与OA→的夹角为30°，设OC→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)，则mn的值为________.16.在△ABC中，点D满足BD→＝DC→，当点E在线段AD上移动时，若AE→＝λAB→＋μAC→，则t＝(λ－1)2＋μ2的最小值是________.12【新高考创新预测】17.(多填题)直角△ABC中，AB＝AC＝2，D为AB边上的点，且ADDB＝2，则CD→·CA→＝________；若CD→＝xCA→＋yCB→，则xy＝________.