专题5.1-数列的概念及简单表示法---2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(原卷版)

1第五篇数列及其应用专题5.01数列的概念及简单表示法【考试要求】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.【知识梳理】1.数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1＞an其中n∈N*递减数列an＋1＜an常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.4.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.【微点提醒】1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.23.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.()(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.()(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.()【教材衍化】2.(必修5P33A4改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋（－1）nan－1(n≥2)，则a5等于()A.32B.53C.85D.233.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.【真题体验】4.(2019·山东省实验中学摸底)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，Sn为其前n项和，则S5的值为()A.57B.61C.62D.6335.(2018·北京朝阳区月考)数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式an等于()A.（－1）n＋12B.cosnπ2C.cosn＋12πD.cosn＋22π6.(2019·天津河东区一模)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝a1（4n－1）3，若a4＝32，则a1＝________.【考点聚焦】考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】(1)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是()A.an＝(－1)n－1＋1B.an＝2，n为奇数，0，n为偶数C.an＝2sinnπ2D.an＝cos(n－1)π＋1(2)已知数列{an}为12，14，－58，1316，－2932，6164，…，则数列{an}的一个通项公式是________.【规律方法】由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理.【训练1】写出下列各数列的一个通项公式：4(1)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(2)12，2，92，8，252，…；(3)5，55，555，5555，….考点二由an与Sn的关系求通项【例2】(1)(2019·广州质检)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为________________.(2)(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn＝2an＋1，则S6＝________.【规律方法】数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.①当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；②当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示.【易错警示】在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形.例如例2第(1)题易错误求出an＝2n(n∈N*).【训练2】(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则数列{an}的通项公式an＝________.(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则数列的通项公式an＝________.5考点三由数列的递推关系求通项【例3】(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋1n，则an等于()A.2＋lnnB.2＋(n－1)lnnC.2＋nlnnD.1＋n＋lnn(2)若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________.(3)若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝________.(4)若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2anan＋2，则an＝________.【规律方法】由数列的递推关系求通项公式的常用方法(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.(2)已知a1(a1≠0)，且anan－1＝f(n)，可用“累乘法”求an.(3)已知a1，且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可用待定系数法确定)，可转化为{an＋k}为等比数列.(4)形如an＋1＝AanBan＋C(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.【易错警示】本例(1)，(2)中常见的错误是忽视验证a1是否适合所求式.【训练3】(1)(2019·山东、湖北部分重点中学联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，an＋1＝an＋2n6－1＋1，则an＝________.(2)若a1＝1，an＋1＝2nan，则通项公式an＝________.考点四数列的性质【例4】(1)数列{an}的通项an＝nn2＋90，则数列{an}中的最大项是()A.310B.19C.119D.1060(2)数列{an}满足an＋1＝2an，0≤an≤12，2an－1，12an1，a1＝35，则数列的第2019项为________.【规律方法】1.在数学命题中，以数列为载体，常考查周期性、单调性.2.(1)研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确定周期性，进而利用周期性求值.(2)数列的单调性只需判定an与an＋1的大小，常用比差或比商法进行判断.【训练4】(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a2n－2an＋1(n∈N*)，则a2020＝________.(2)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1an成立，则实数k的取值范围是________.7【反思与感悟】1.数列是特殊的函数，要利用函数的观点认识数列.2.已知递推关系求通项公式的三种常见方法：(1)算出前几项，再归纳、猜想.(2)形如“an＋1＝pan＋q”这种形式通常转化为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列.(3)递推公式化简整理后，若为an＋1－an＝f(n)型，则采用累加法；若为an＋1an＝f(n)型，则采用累乘法.【易错防范】1.解决数列问题应注意三点(1)在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值是正整数.(2)数列的通项公式不一定唯一.(3)注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2.2.数列{an}中，若an最大，则an≥an－1且an≥an＋1；若an最小，则an≤an－1且an≤an＋1.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.数列1，3，6，10，15，…的一个通项公式是()A.an＝n2－(n－1)B.an＝n2－1C.an＝n（n＋1）2D.an＝n（n－1）282.已知数列{an}满足：任意m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝12，那么a5＝()A.132B.116C.14D.123.(2019·江西重点中学盟校联考)在数列{an}中，a1＝－14，an＝1－1an－1(n≥2，n∈N*)，则a2019的值为()A.－14B.5C.45D.544.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，则S5＝()A.31B.42C.37D.475.(2019·成都诊断)已知f(x)＝（2a－1）x＋4（x≤1），ax（x1），数列{an}(n∈N*)满足an＝f(n)，且{an}是递增数列，则a的取值范围是()A.(1，＋∞)B.12，＋∞C.(1，3)D.(3，＋∞)二、填空题6.在数列－1，0，19，18，…，n－2n2，…中，0.08是它的第________项.97.若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.8.在数列{an}中，a1＝2，an＋1n＋1＝ann＋ln1＋1n，则an＝________.三、解答题9.(2016·全国Ⅲ卷)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式.10.已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝12a2n＋12an(n∈N*).(1)求a1，a2，a3，a4的值；10(2)求数列{an}的通项公式.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·山东新高考适应性调研)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2018这2018个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列共有()A.98项B.97项C.96项D.95项12.已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·67n，则数列{an}的项取最大值时，n＝________.13.(2019·菏泽模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝(－1)n·an－12n，记bn＝8a2·2n－1，若对任意的n∈N*，总有λbn－10成立，则实数λ的取值范围为________.1114.已知数列{an}中，an＝1＋1a＋2（n－1）(n∈N*，a∈R且a≠0).(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围.【新高考创新预测】15.(数学文化)著名的斐波那契数列{an}：1，1，2，3，5，8，…，满足a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，n∈N*，那么1＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2017是斐波那契数列的第________项.