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1第六篇平面向量与复数专题6.01平面向量的概念及线性运算【考试要求】1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示和基本要素；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.【知识梳理】1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的(1)|λa|＝|λ||a|；λ(μa)＝λμa；2积的运算(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.【微点提醒】1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An－1An＝A1An→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.2.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→＝12(OA→＋OB→).【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)零向量与任意向量平行.()(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(3)向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.()【教材衍化】2.(必修4P78A6改编)给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与BA→相等.则所有正确命题的序号是()A.①B.③C.①③D.①②33.(必修4P92A12改编)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→等于()A.OM→B.2OM→C.3OM→D.4OM→【真题体验】4.(2019·东莞调研)如图所示，已知AC→＝3BC→，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则下列等式中成立的是()A.c＝32b－12aB.c＝2b－aC.c＝2a－bD.c＝32a－12b5.(2018·上海静安区月考)若四边形ABCD满足AD→＝12BC→且|AB→|＝|DC→|，则四边形ABCD的形状是()A.等腰梯形B.矩形C.正方形D.菱形46.(2019·菏泽调研)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________.【考点聚焦】考点一平面向量的概念【例1】(1)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a|a|＋b|b|＝0成立的是()A.a＝2bB.a∥bC.a＝－13bD.a⊥b(2)给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“AB→＝DC→”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是()A.②③B.①②C.③④D.②④5【规律方法】对于向量的有关概念应注意以下几点：(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的，它们均与起点无关；非零向量的平行具有传递性；相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有传递性.(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可以比较大小.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈.(4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量.【训练1】(1)如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是()A.AD→＝BC→B.AC→＝BD→C.PE→＝PF→D.EP→＝PF→(2)给出下列说法：①非零向量a与b同向是a＝b的必要不充分条件；②若AB→与BC→共线，则A，B，C三点在同一条直线上；③a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向；④设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线.其中错误说法的序号是________.考点二平面向量的线性运算6角度1向量的线性运算【例2－1】(2018·全国Ⅰ卷)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→＝()A.34AB→－14AC→B.14AB→－34AC→C.34AB→＋14AC→D.14AB→＋34AC→角度2利用向量线性运算求参数【例2－2】(1)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若BE→＝λBA→＋μBD→(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于()A.1B.34C.23D.12(2)在锐角△ABC中，CM→＝3MB→，AM→＝xAB→＋yAC→(x，y∈R)，则xy＝________.【规律方法】71.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果.【训练2】(1)如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝()A.a－12bB.12a－bC.a＋12bD.12a＋b(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.考点三共线向量定理及其应用【例3】设两个非零向量a与b不共线.(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b).求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.8【规律方法】1.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.2.向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立.【训练3】(1)已知a，b是不共线的向量，AB→＝λa＋b，AC→＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为()A.λ＋μ＝2B.λ－μ＝1C.λμ＝－1D.λμ＝1(2)(一题多解)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2OA→＋xOB→＋BC→＝0成立的实数x的取值集合为()A.{0}B.∅C.{－1}D.{0，－1}9【反思与感悟】1.向量线性运算的三要素向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”.2.三个常用结论(1)O为△ABC的重心的充要条件是OA→＋OB→＋OC→＝0；(2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则AB→＋DC→＝2EF→；(3)对于平面上的任一点O，OA→，OB→不共线，满足OP→＝xOA→＋yOB→(x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.注意向量共线与三点共线的区别.【易错防范】1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟)一、选择题1.已知下列各式：①AB→＋BC→＋CA→；②AB→＋MB→＋BO→＋OM→；③OA→＋OB→＋BO→＋CO→；④AB→－AC→＋BD→－CD→，其中结果为零向量的个数为()A.1B.2C.3D.4102.如图，在正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝()A.0B.BE→C.AD→D.CF→3.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()A.a与λa的方向相反B.a与λ2a的方向相同C.|－λa|≥|a|D.|－λa|≥|λ|·a4.已知AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则下列一定共线的三点是()A.A，B，CB.A，B，DC.B，C，DD.A，C，D5.设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB→＋FC→＝()A.BC→B.12AD→C.AD→D.12BC→116.(2019·唐山二模)已知O是正方形ABCD的中心.若DO→＝λAB→＋μAC→，其中λ，μ∈R，则λμ＝()A.－2B.－12C.－2D.27.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则m＋n的值为()A.1B.2C.3D.48.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC→＝3CD→，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若AO→＝xAB→＋(1－x)AC→，则x的取值范围是()A.0，12B.0，13C.－12，0D.－13，0二、填空题129.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA→相等的向量有________个.10.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.11.在△ABC中，点M，N满足AM→＝2MC→，BN→＝NC→.若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＋y＝________.12.(2019·清华大学自主招生能力测试)设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且OA→＋OB→＋2OC→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为________.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)1313.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP→＝2OA→＋BA→，则()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的反向延长线上C.点P在线段AB的延长线上D.点P不在直线AB上14.(2019·青岛二模)设D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，则DA→＋2EB→＋3FC→＝()A.12AD→B.32AD→C.12AC→D.32AC→15.已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0，若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m＝________.16.(2019·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量，AB→＝3e1＋2e2，CB→＝ke1＋e2，CD→＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为________.14【新高考创新预测】17.(多填题)在△ABC中有如下结论：“若点M为△ABC的重心，则MA→＋MB→＋MC→＝0.”设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，点M为△ABC的重心.若aMA→＋bMB→＋33cMC→＝0，则内角A的大小为________，当a＝3时，△ABC的面积为________.