线性系统理论全PPT课件

第一部分:线性系统时间域理论第二章线性系统的状态空间描述2.1状态和状态空间线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,直接在时间域内分析和综合线性系统的运动和特性的一种理论和方法。系统动态过程的数学描述2u1upuqy2yqynxxx,,,211/4,1/50(1).系统的外部描述外部描述常被称作为输出—输入描述例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:ubububyayayaynnnnn0)1(1)1(10)1(1)1(1)(复频率域描述即传递函数描述01110111)()()(asasasbsbsbsusysgnnnnn(2)系统的内部描述状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,——状态方程和输出方程(3)外部描述和内部描述的比较一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不能控或不能观测的部分.内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.2u1upuqy2yqynxxx,,,212/4,2/502.1基本概念2.1.1定义(1)状态：系统过去、现在和将来的状况(2)状态变量：能够完全表征系统运动状态的最小一组变量：00().ttxtxta表示系统时刻的状态0t.b0tttu0tt当时的输入给定，且上述时的行为状态确定时，状态变量能完全确定系统初始在2u1upuqy2yqynxxx,,,21(5)状态方程：描述系统状态与输入之间关系的、一阶微分方程（组）：()()()xtAxtBut11,,,,.nTnxtLxtxtxtLxt作为分量的向量，即(3)状态向量：以系统的个独立状态变量n为1,,nxtxt(4)状态空间:以状态变量n维空间。标轴构成的坐()()()ytCxtDut输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关系的数学表达式：(6)(7)状态空间表达式：(5)+(6).状态变量的特点：(1)独立性：状态变量之间线性独立.(2)多样性：状态变量的选取并不唯一，实际上存在无穷多种方案.(3)等价性：两个状态向量之间只差一个非奇异变换.(4)现实性：状态变量通常取为涵义明确的物理量.(5)抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义.2.1.2状态空间表达式的一般形式：(1)线性系统xtAtxtBtutytCtxtDtut,nxR,puRqyR2.2线性系统的状态空间描述电路系统状态空间描述的列写示例)(te1RLCcU2R2RULiCiedtdiLdtduCRiRdtdiLdtduCRuLcLLcc1120eRRRiuRRRRRRRueRRLRCRRiuRRLRRRRLRCRRRCRRiuLcRLcLc2122121212212212121211211212)()(1)()()()(1以上方程可表为形如DuCXYBuAXX描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间表达式（动态方程或运动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）。1/7,5/50机电系统状态空间描述的列写示例)(teaRaLconstifFJ,aaaMaeaaaaMeaaaaieLiJfJcLcLRidtdJficecdtdiLiR1001上式可表为形如DuCXYBuAXX2/7,6/50连续时间线性系统的状态空间描述动态系统的结构1u2upu1x2xnx1y2yqy动力学部件输出部件连续时间线性系统的状态空间描述线性时不变系统DuCXYBuAXX线性时变系统utDXtCYutBXtAX)()()()(3/7,7/50连续时间线性系统的方块图)(tB)(tC)(tDXYUX)(tA4/7,8/50人口分布问题状态空间描述的列写示例假设某个国家,城市人口为107,乡村人口为9x107,每年4%的城市人口迁移去乡村,2%的乡村人口迁移去城市,整个国家的人口的自然增长率为1%设k为离散时间变量,x1(k)、x2(k)为第k年的城市人口和乡村人口,u(k)为第k年所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励5x104城市人口迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致5x104乡村人口去城市,y(k)为第k年全国人口数)(10501.1)(04.001.1)()02.01(01.1)1()(10501.1)(02.001.1)()04.01(01.1)1(41224211kukxkxkxkukxkxkx写成矩阵形式)()()()()()1()()(11)()(1005.51005.5)()(9898.00404.00202.09696.0)1()1(21442121kDukCxkykHukGxkxkxkxkykukxkxkxkx亦可表为5/7,9/50离散时间线性系统的状态空间描述状态空间描述形式离散时间线性时不变系统)()()()()()1(kDukCxkYkHukGxkX传输矩阵阵输出矩阵阵输入矩阵阵系统矩阵阵::::DpqCnqHpnGnn离散时间线性时变系统)()()()()()()()()()1(kukDkxkCkYkukHkxkGkX6/7,10/50离散系统状态空间描述的特点：一是:状态方程形式上的差分型属性（即：状态方程为差分方程。）二是:描述方程的线性属性。（状态方程和输出方程的右端，对状态x和输入u都呈现为线性关系。）三是:变量取值时间的离散属性（所有变量只能在离散时刻k取值）。离散时间线性系统的方块图)(kH)(kC)(kD)1(kx)(ky)(ku)(kx)(kG单位延迟7/7,11/502.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类线性系统和非线性系统设系统的状态空间描述为),,(),,(tuxgytuxfx向量函数),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(2121tuxgtuxgtuxgtuxgtuxftuxftuxftuxfqn，若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一个组成元素为x、u的非线性函数,该系统称为非线性系统。若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部组成元为x、u的线性函数,该系统称为线性系统对于线性系统utDXtCYutBXtAX)()()()(非线性系统可以用泰勒展开方法化为线性系统。1/2,12/50时变系统和时不变系统若向量f,g不显含时间变量t,即),(),(uxgguxff该系统称为时不变系统若向量f,g显含时间变量t,即),,(),,(tuxggtuxff该系统称为时变系统连续时间系统和离散时间系统当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于连续时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为连续时间系统当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量只取值于离散时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的不连续过程,该系统称为离散时间系统.确定性系统和不确定性系统称一个系统为确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的.称一个动态系统为不确定性系统,或者系统的特性和参数中包含某种不确定性,或者作用于系统的输入和扰动是随机变量2/2,13/502.4由系统输入输出描述导出状态空间描述由输入输出描述导出状态空间描述对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述ububububyayayaymmmmnnn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(其传递函数描述011101111)()()(asasasbsbsbsbsUsYsgnnnmmmm可以导出其状态空间描述为1111RdRcRbRARxducxybuAxxnnnnn1/18,14/50结论1给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,ububububyayayaymmmmnnn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出011101111)()()(asasasbsbsbsbsUsYsgnnnmmmm(1)m=n,即系统为真情形ubxabbabbabbyuxaaaaXnnnnnnn)(,),(),(100010000000101111001210证明：设zazazunnn0)1(1)(2/18,15/50)()()(0)1(1)(0)1(0)1(1)(1)(0)1(1)(00)1(10)(0)1(01)22(11)12(1)(0)12(1)2(0)1(1)(0)1(1)(zbzbzbazbzbzbazbzbzbzabzabzbzabzabzbzabzabzbubububyayaynnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn可见zbzbzbynnnn0)1(1)(3/18,16/50)1(21nnzxzxzx令ubxbabxbabxbabxbxbuxaxaxabzbzbzbyuxaxaxauzazazazxxxxxxxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)()()()(11211100101102110)1(1)(1021101)1(1)(13221有zbzbzbynnnn0)1(1)(zazazunnn0)1(1)(4/18,17/50(2)mn,即系统为严真情形xbbbyuxaaaaXmn0010001000000010101210写成矩阵形式：ubxxxxbabbabbabbabyuxxxxaaaaxxxxnnnnnnnnnnnnnnnn1211122110012112101211000100001000010011101111)()()(asasasbsbsbsbsUsYsgnnnmmmm5/18,18/50结论2给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出(1)m=0情形此时输入输出描述为:ubyayayaynnn00)1(1)1(1)(01110)(asasasbsgnnn选取n个状态变量)1(21