线性系统理论课件

第四章系统运动的稳定4.1外部稳定性和内部稳定性一外部稳定性1.定义：一个线性因果系统，如果对应于一个有界的输入u(t),即满足条件.,,),[,)(,)(),(),[)(0201稳定并简称为有界输出稳定即是有界输入稳定的则称此因果系统是外部即成立也是有界的所产生的输出的输入BIBOttktytytuttktu注意：讨论外部稳定，必须假定系统初始条件为零。2结论1：时变系统对于零初始条件的线性时变系统，为其脉冲响应矩阵，则系统),(tG为BIBO稳定的充分必要条件是，存在一个有限常数k,使对于一切的每一个元均满足关系式),(),,[0tGtt),,2,1;,,2,1(),,(pjqitgij.),()(),()(),()(:)()(),(::1.:),(211100000稳定系统为输出为满足对任意输入已知充分性单输出情况单输入先考虑分两步证证BIBOkkkdtgkdutgdutgtyktutukdtgqpkdtgttttttttijttij必要性：利用反让法。),[),(.,.)(),()(),()(0),(10),(00),(1),(sgn)(),(),[011110110101010ttdtgBIBOtydtgdutgtyttgttgttgttgtudtgtttttttttt即反证不成立稳定矛盾与系统已知为为无界表明输出出由它作用下所产生的输当入则定义如下一个有界输使设存在某个再考虑多输入—多输出情况piutgutgdutgutgtytytyttpipttittpipiii,,2,1)(),()(),()](),()(),([)()()(101001111满足关系式的分量系统输出有界个有界函数之和仍为有界，利用单输入—单输出情况的结论，可证得此结论。3结论2：（定常情况）对于零初始条件的线性定常系统，表初始时刻为其脉冲响应矩阵，为其传递函数矩阵，则系统为BIBO稳定的充分必要条件是，存在一个有限常数的每一个元均满足关系式：)(,00tGt)(ˆsG)(,tGk),,2,1;,,2,1()(pjqitgij部的所有极点均具有负实的每一个元传递函数阵时为真的有理分式函数矩或者等价地当)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(0sgsGsGkdttgijij二内部稳定性1定义：对于线性定常系统征值均具有负实部，即的所有特必要条件是矩阵，其为渐近稳定的充分则称系统是内部稳定的满足关系式引起的零输入响应，初始状态为任意且由如果外输入AoxtoxtxtuxxDuCyBuAt0),,0;(lim),,0;(0)()1()0(0000xxx.)1,,1,0()()det()((.,,2,1,0)}(Re{0111性来判断系统的渐近稳定判据而直接由系统霍尔维茨那么就可利用劳斯征多项式给定后则一旦导出其特当矩阵为系统的维数其中niHurwitzRouthsssAsIsAnniAinnni三内部稳定性和外部稳定性间的关系结论１：设线性定常系统（１）是内部稳定的，则必是BIBO稳定的。结论２：设线性定常系统（１）是BIBO稳定的，则不能保证系统发必是渐近稳定的。结论３：如果线性定常系统（１）为能控和能观测的，则其内部稳定性与外部稳定性必是等价的。一自治系统、受扰运动和平衡状态设系统的状态方程为.),()(,)2(,,),,2,1(,)],(,),,(),,([),(.],,,[)2(),(212121治系统则称这样的系统为自无外输入作用即无关式的右边与若数。的连续可微单值有界函和时间为状态分量其中维向量函数为维状态向量为式中xfttxxxnifntftftftfnxxxtfniTnTnxxxxxxxx),,()2(,:00txtx有唯一解假定当初始条件给定时状态解４.2李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念.)2(,0),(,,)2(:),(,,,,00000000的平衡状态或平衡点为系统则称此状态向量使得存在状态向量若对于所有系统平衡状态，有时的为即为状态向量的初始值为观测时间为初始时刻式中eeeexttxfxxttxtxxttxxtt系统平衡状态可以为零（），也可不为零（），但对任意总可引入一个新状态，经一定的坐标变换，把它化到坐标原点（即零状态）。对线性定常系统，有0ex0ex0ex.)3(,;0)3(,)3(存在无穷多个平衡状态为奇异的若只存在唯一的平衡状态则为非奇异如果AxAAexx孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这样的状态为孤立平衡状态，单个平衡状态也是孤立平衡状态。稳定性问题：是指系统的状态解（常称“运动”）是否能趋于平衡状态解的问题。若系统的状态解能回复到平衡状态，则称此系统是稳定的。如果系统的状态解虽然不能最终回复到平衡状态，而是在平衡状态的某一邻域内呈现自激振荡，而这种振荡又为实际系统所允许，那么也应把这种系统称之为稳定的。反之称为不稳定的。二稳定性的基本定义1稳定（李亚普诺夫意义下的稳定）1）定义：对于系统（2），如果给定任何一实数，都相应地存在另一实数，使由满足不等式00),(0t.,:.)2()()()(),;(,),(022222110000000是一致稳定的则称平衡状态无关与若实数一致稳定是稳定的的平衡状态则称系统数学意义是称为欧几里德范数它的式中即均满足不等式时的状态出发的的任意初态eeneneeeeeeextxxxxxxxxxxxttxtxtttxxxttxtxx2）几何意义ex0x)(S)(S界面)(H),;(00txt2x1x2渐近稳定1）定义:对于系统(2),如果给定任意两个实数和，都有相应地存在另两个实数和，使由满足不等式：000),(0t0),,(0tT.0lim.,,:.)2(,),,(,0000000是渐近稳定的则称此平衡状态即有收敛于时且当如果平衡状态是稳定的或是渐近稳定的的平衡状态则称系统满足时的出发的的任意初态eeteeeeexxxxxtxTttxxTttttxxxttxxx2）几何意义)(S)(S)(ST1x1x2x2xex0x)(S)(S界面)(H),;(00txt1x2x),;(00txtt3）讨论：a)如果和T均与无关，则称此平衡状态是一致渐近稳定的。b)渐近稳定的最大区域称为引力域。3大范围渐近稳定1）定义：如果系统的平衡状态是渐近稳定的，且其引力域包括整个状态空间，即有：0texexnettRxxtxtx,),;(limlim00则称系统的平衡状态为大范围渐近稳定的。2)讨论：a)大范围内渐近稳定的必要条件是整个状态空间中只存在一个平衡状态。b)对于线性系统，如果其平衡状态是渐近稳定的，那么它也一定是大范围渐近稳定的。4不稳定1）定义：如果给定任意实数且无论它们取得多么小，在由不等式ex,0,0exx0所确定的球域内，至少存在一个初态，由出发的，时的状态x)(S*0x*0x0tt不满足下列不等式00*0),;(ttxtxtxxee则称状态是不稳定的。2）几何意义exex*0x)(S)(S界面)(H1x2x李亚普诺夫第二方法是建立在这样一个直观的物理事实上的，任何一个系统或物体之所以有运动，无非是因为它具有能量的缘故。如果系统在运动过程中，其内部贮存的能量随着时间的增加而逐渐减小，一直到运动平衡状态处，系统的能量耗尽或变得最小，那么系统自然将在此平衡状态处渐近稳定。即有。由于实际系统很难找到一个统一的、简便的用于完全描述上述过程的所谓能量函数，李氏认为在判断一个系统的稳定时，不一定非要找到系统的真正能量函数，可以根据不同的系统虚构一个广义的能量函数，称为李亚普诺夫函数（李氏函数）。李氏函数能满足一定的条件，也就可根据它来判断系统的稳定性了。李氏函数一般是状态分量和时间t的标量函数，用表示。若与t无关，可用表示。在多数情况下，常取二次型函数作为李氏函数。etxxlimnxxx,,,21),(txV)(xV)(xV4.3李亚普诺夫第二方法的主要定理.)(为实对称阵式中即PPxVTxx定理1设系统状态方程为.0)3(,0,0),()3(.;0,0),()2(;00),()1(,),,2,1(,),,(,)3(0),0(),(01),(),(是稳定的的平衡状态则系统工程对于处恒为零而且在某且满足如下条件存在具有连续的一阶偏导数对在具有连续的一阶导数存对存在一个村量函数内如果它在原点的某邻域edtdxnixtxVdttxVdixxtxVxxtxVxtxVnixttxVtftxfiix定理2：系统如（3）所示，如果它在原点的某邻域内，存在一个标量函数对t具有连续的一阶导数存在，对具有连续的一阶偏导数存在，且满足如下条件),,(txV),,2,1(nixi。是大范围内渐近稳定的，则系统的平衡状态时，有满足是渐近稳定的。如果还则系统的平衡状态0),()4(00,0),()3(0,0),()2(0,0),()1(eextxVxxxtxVxtxVxtxV定理3：系统如（3）所示，如果它在原点的某邻域内，存在一个标量函数对t具有连续的一阶导数存在，对具有连续的一阶偏导数存在，且满足如下条件),,(txV),,2,1(nixi。是大范围内渐近稳定的，则系统的平衡状态时，有满足条件是渐近稳定的。如果还则系统的平衡状态但不恒为零0),()4(00,0),()3(0)(,0),()2(0,0),()1(eextxVxxxtxVxtxVxtxV定理4：系统如（3）所示，如果它在原点的某邻域内，存在一个标量函数对t具有连续的一阶导数存在，对具有连续的一阶偏导数存在，且满足如下条件),,(txV),,2,1(nixi是不稳定的。则系统的平衡状态但不恒为零00)(,0),()2(0,0),()1(exxtxVxtxV例子：系统方程为试用李亚普诺夫第二法判断系统的稳定性。)()(22212122221121xxxxxxxxxx)0(0)(2)]([2)]([222),()0(01001][),(.00,0,0,0:22221222121222211212211),(),(2221212121212211时时下二次型假定选取李氏函数这如是系统平衡状态故时当解xxxxxxxxxxxxxxxxxtxVxxxxxxxtxVxxxxxdtdxxtxVdtdxxtxV是大范围渐近稳定的。系统的平衡状态有和或者是即又是渐近稳定的。系统的平衡状态有时且0),(,,00),(,0,0212121eextxVxxxxxxtxVxx例子：系统的状态方程为试用李亚普诺夫第二法判断系统的稳定性。21211110xxxx2221221221122212)(2222),(0,0),(0,:xxxxxxxxxxtxVxxxtxVx时选取。系统唯一平衡点为由方程可见解),(,.00),(,)0,0(0.2),(.0,0,0,.,,,2),(.),(,)0,0(0.0),(,00),(0,00),(,