1-1-求周期方波(见图1-4)的傅里叶级数(复指数函数形-…

1-1求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|cn|–ω和φn–ω图，并与表1-1对比。解答：在一个周期的表达式为00(0)2()(0)2TAtxtTAt积分区间取（-T/2，T/2）0000000022020002111()d=d+d=(cos-1)(=0,1,2,3,)TTjntjntjntTTncxtetAetAetTTTAjnnn所以复指数函数形式的傅里叶级数为001()(1cos)jntjntnnnAxtcejnen，=0,1,2,3,n。(1cos)(=0,1,2,3,)0nInRAcnnnc2221,3,,(1cos)00,2,4,6,nnRnIAnAcccnnnn1,3,5,2arctan1,3,5,200,2,4,6,nInnRπncπφncn没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。图1-4周期方波信号波形图0tx(t)T02T020T……A-AT01-2求正弦信号0()sinxtxωt的绝对均值xμ和均方根值rmsx。解答：00002200000224211()dsindsindcosTTTTxxxxxμxttxωttωttωtTTTTωTωπ222200rms0000111cos2()dsindd22TTTxxωtxxttxωtttTTT1-3求指数函数()(0,0)atxtAeat的频谱。解答：(2)220220(2)()()(2)2(2)ajftjftatjfteAAajfXfxtedtAeedtAajfajfaf22()(2)kXfafIm()2()arctanarctanRe()XfffXfa1-5求被截断的余弦函数0cosωt(见图1-26)的傅里叶变换。|cn|φnπ/2-π/2ωωω0ω03ω05ω03ω05ω02A/π2A/3π2A/5π幅频图相频图周期方波复指数函数形式频谱图2A/5π2A/3π2A/π-ω0-3ω0-5ω0-ω0-3ω0-5ω0单边指数衰减信号频谱图f|X(f)|A/a0φ(f)f0π/2-π/20cos()0ωttTxttT解：0()()cos(2)xtwtftw(t)为矩形脉冲信号()2sinc(2)WfTTf002201cos(2)2jftjftftee所以002211()()()22jftjftxtwtewte根据频移特性和叠加性得：000011()()()22sinc[2()]sinc[2()]XfWffWffTTffTTff可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f0，同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。1-6求指数衰减信号0()sinatxteωt的频谱解答：指数衰减信号x(t)fX(f)Tf0-f0被截断的余弦函数频谱图1-26被截断的余弦函数ttT-TT-Tx(t)w(t)1001-10001sin()2jtjtteej所以001()2jtjtatxteeej单边指数衰减信号1()(0,0)atxteat的频谱密度函数为112201()()jtatjtajXfxtedteedtaja根据频移特性和叠加性得：001010222200222000222222220000()()11()()()22()()[()]2[()][()][()][()]ajajXXXjjaaaajaaaa1-7设有一时间函数f(t)及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡00cos()mωtωω。在这个关系中，函数f(t)叫做调制信号，余弦振荡0cosωt叫做载波。试求调幅信号0()cosftωt的傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若0mωω时将会出现什么情况？00X(ω)-ππφ(ω)ωω指数衰减信号的频谱图解：0()()cos()xtftt()[()]FftF0001cos()2jtjttee所以0011()()()22jtjtxtftefte根据频移特性和叠加性得：0011()()()22XfFF可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频ω0，同时谱线高度减小一半。若0mωω将发生混叠。fX(f)ω0-ω0矩形调幅信号频谱图1-27题1-7图ωF(ω)0f(t)0t-ωmωm