坐标系与参数方程复习课件-(全国通用)

坐标系与参数方程高考巡航高考对本节内容考查主要从下列形式进行：一是参数方程、极坐标与曲线的关系；二是由参数方程、极坐标方程求解曲线的一些基本量，主要是极坐标与直角坐标、参数方程(直线、圆、椭圆的参数方程)与普通方程的互化问题的应用等，考查知识点较为简单和稳定，这也为大家的备考指明了方向.核心梳理[知识回顾]一、基本概念1．直角坐标与极坐标的互化如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0.2．直线、圆的极坐标方程(1)直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置直线的极坐标方程①直线过极点：θ＝α；②直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；③直线过点Mb，π2且平行于极轴：ρsinθ＝b.(2)几个特殊位置圆的极坐标方程①圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；②圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；③圆心位于Mr，π2，半径为r：ρ＝2rsinθ.3．参数方程(1)直线的参数方程过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．(2)圆、椭圆的参数方程①圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为x＝x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)．②椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)．二、重要公式1.x＝ρcosθy＝ρsinθρ2＝x2＋y2tanθ＝yxy≠0.2.x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα(t为参数)3.x＝x0＋rcosθy＝y0＋rsinθ(θ为参数0≤θ≤2π)4.x＝acosθy＝bsinθ(θ为参数)[专题回访]1．已知在直角坐标系xOy中，极点与坐标原点O重合，极轴与x轴正半轴重合，直线l的极坐标方程为ρsinθ－4ρcosθ＋2＝0，曲线C的参数方程为x＝ty＝4t2(t∈R)．(1)将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，将曲线C的参数方程化为普通方程；(2)若点A是直线l上的一个动点，点B是曲线C上的一个动点，求|AB|的最小值．解：(1)将y＝ρsinθ，x＝ρcosθ代入ρsinθ－4ρcosθ＋2＝0，整理得直线l的直角坐标方程为4x－y－2＝0；由x＝ty＝4t2(t∈R)消去参数t得曲线C的普通方程为y＝4x2.(2)由题意知|AB|的最小值就是曲线C上任意一点B到直线l的距离d的最小值，设B(x,4x2)，则d＝|4x－4x2－2|42＋1＝|4x2－4x＋2|17＝4x－122＋117，当x＝12时，dmin＝1717，故|AB|的最小值为1717.2．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l的参数方程为x＝－1＋tcosαy＝tsinα(t为参数，α为直线的倾斜角)．(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角α的大小．解：(1)当α＝π2时，直线l的普通方程为x＝－1；当α≠π2时，直线l的普通方程为y＝(x＋1)tanα.由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x.(2)将x＝－1＋tcosαy＝tsinα代入x2＋y2＝2x，整理得t2－4tcosα＋3＝0.由Δ＝16cos2α－12＝0，得cos2α＝34，所以cosα＝32或cosα＝－32，故直线l的倾斜角α为π6或5π6.热点追踪热点考向一极坐标方程[典例1]在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．[自主解答](1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝2.由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为12.[方法规律]求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程；(4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略．[变式训练1]已知曲线C的极坐标方程是ρ2－4ρcosθ＋2＝0.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若曲线C与直线ρsinθ＋π4＝22相交于A，B两点，求AB的中点的直角坐标．解：(1)由ρ2－4ρcosθ＋2＝0⇒x2＋y2－4x＋2＝0⇒(x－2)2＋y2＝2，所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝2.(2)ρsinθ＋π4＝22⇒ρsinθcosπ4＋ρcosθsinπ4＝22⇒x＋y＝1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立x2＋y2－4x＋2＝0x＋y＝1⇒2x2－6x＋3＝0⇒x1＋x2＝3，y1＋y2＝1－x1＋1－x2＝2－(x1＋x2)＝2－3＝－1，所以AB的中点坐标为x1＋x22，y1＋y22，即32，－12.热点考向二参数方程及极坐标与参数方程的综合应用[典例2]过极点O作圆C：ρ＝8cosθ的弦ON，ON的中点为M.(1)求点M的轨迹的极坐标方程；(2)求M的轨迹上的点到直线l：x＝3－22ty＝2＋22t(t为参数)的最大距离．[自主解答](1)设点M的极坐标是(ρ，θ)，N(ρ1，θ1)．∵点N在圆ρ＝8cosθ上，∴ρ1＝8cosθ1①.∵M是ON的中点，∴ρ1＝2ρθ1＝θ.将其代入①式得2ρ＝8cosθ，故点M的轨迹的极坐标方程是ρ＝4cosθ.(2)直线l：x＝3－22ty＝2＋22t(t为参数)的普通方程为x＋y－5＝0，M的轨迹方程ρ＝4cosθ转化为直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，M的轨迹上的点到直线l：x＝3－22ty＝2＋22t(t为参数)的最大距离为2＋|2＋0－5|12＋12＝4＋322.[方法规律](1)曲线参数方程有很多优点：①曲线上任一点坐标都可用一个参数表示，变元只有一个．特别对于圆、椭圆、双曲线有很大用处．②很多参数都有实际意义，解决问题更方便．比如：直线参数方程x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα(α为倾斜角，t为参数)，其中的|t|＝|PM|，P(x，y)为动点，M(x0，y0)为定点．③把参数方程化为普通方程主要思想是消元，方法有：a．代入消元法；b.整体消元；c.三角消元．(2)极坐标问题的一般处理方法为：先把极坐标化为直角坐标，再解决问题．[变式训练2]已知点P的极坐标为2，π2，曲线C的极坐标方程为ρ＝－4cosθ，过点P的直线l交曲线C于M，N两点．(1)若在直角坐标系下直线l的倾斜角为α，求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)求|PM|＋|PN|的最大值及相应的α值．解：(1)由题意可知点P在直角坐标系下的坐标为P(0,2)，所以直线l的参数方程为x＝tcosαy＝tsinα＋2(t为参数)，由ρ＝－4cosθ得ρ2＝－4ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＋4x＝0.(2)将x＝tcosαy＝tsinα＋2(t为参数)代入x2＋y2＋4x＝0，得t2＋4(sinα＋cosα)t＋4＝0，设点M，N对应的参数分别为t1，t2，因为方程的两根t1，t2满足t1t2＝40，且Δ＝42(sinα＋cosα)2－4×40，即α∈0，π2，所以|PM|＋|PN|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝4|sinα＋cosα|＝42sinα＋π4，α∈0，π2，所以当α＝π4时，|PM|＋|PN|取得最大值，且最大值为42.专能提升1.(热点一)已知直线l的参数方程是x＝22ty＝22t＋42(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ＋π4.(1)求圆心C的直角坐标；(2)试判断直线l与圆C的位置关系．解：(1)因为ρ＝2cosθ－2sinθ，所以ρ2＝2ρcosθ－2ρsinθ，所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，即x－222＋y＋222＝1，所以圆心C的直角坐标为22，－22.(2)因为直线l的普通方程为x－y＋42＝0，圆C的半径R＝1，圆心C到直线l的距离d＝22＋22＋422＝5，所以dR.所以直线l与圆C相离．2．(热点一)已知直线l的斜率为－33，且过点0，233，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ－π6.(1)求直线l的参数方程；(2)若P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sinθ－π6的公共点，求3x＋y的取值范围．解：(1)由题意知，直线l过点0，233，倾斜角为5π6，所以直线l的参数方程为x＝－1－32ty＝3＋12t(t为参数)．(2)设z＝3x＋y，圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－23y＝0，整理得，(x＋1)2＋(y－3)2＝4，所以圆C的圆心为(－1，3)，半径为2.将x＝－1－32ty＝3＋12t(t为参数)代入z＝3x＋y得，z＝－t.又直线l过圆心(－1，3)，圆C的半径为2，所以－2≤t≤2，所以－2≤－t≤2，即3x＋y的取值范围是[－2,2]．