第九章-扭转

§9圆轴扭转的力学模型一、扭转变形杆件两端作用两个大小相等、方向相反，且作用平面垂直于杆件轴线的力偶，致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，这样的变形形式称为扭转变形。2、变形特点：纵向线发生倾斜，相邻横截面发生相对错动；横截面仍为平面，只是绕轴线发生转动。杆件受到一对力偶矩的大小相等、旋向相反，作用平面与杆轴线垂直的力偶作用。1、外力特点杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线产生相对转动，这种受力与变形形式称为扭转（torsion）。汽车转向轴传动轴假设：圆轴扭转变形后各个横截面仍为平面，而且其大小、形状以及相邻两截面之间的距离保持不变，横截面半径仍为直线。横截面上各点无轴向变形，故横截面上没有正应力。横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，故横截面上有剪应力存在。各横截面半径不变，所以剪应力方向与截面径向垂直。推断结论：圆轴扭转时的应力1、扭转变形受力特点：在杆件的两端作用有两个大小相等、方向相反、且作用面垂直于杆件轴线的力偶。变形特点：使杆件的任意两个截面都发生绕杆件轴线做相对转动的变形。这种变形称为扭转。扭转时杆件两个横截面相对转动的角度称为扭转角--以扭转为主的杆件通常称为轴。截面形状为圆形的轴称为圆轴。本章主要讨论圆轴扭转时的应力、变形、强度和刚度问题。2、按输入功率和转速计算电机每秒输入功：外力偶每秒作功完成：1000(N.m)WP260nWm其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/分（r/min）。如果功率P的单位用马力（1马力=735.5W=0.7355kW），则600009549[Nm]2PPmnn[]7024[Nm][r/min]Pmn马力外力偶矩计算扭转内力——扭矩与扭矩图外力偶矩的计算转速：n(转/分)输入功率：N(kW)m1分钟输入功：N600001000N60W1分钟m作功：'WWnm21n2mmWNmnN9550m单位力偶在单位时间内所作之功即功率P，等于力偶之矩M与相应角速度的乘积。二、功率、转速和外力偶矩之间的关系工程中作用于传动轴上的外力偶矩往往不是直接给出的，而是给出轴所传递的功率和轴的转速，它们间的换算关系如下nPm9549kWmin/rmN三、扭矩和扭矩图截面法：mTT为圆轴扭转时截面上的内力--扭矩扭矩正负的规定：按右手螺旋法则扭矩图：表示扭矩沿轴线的变化情况图。⊕圆轴扭转时的内力及内力图1、圆轴扭转时的内力----扭矩以扭转变形为主的杆------------轴扭转时的内力称为扭矩2、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到mmmMn0MX0mMnmMn3、扭矩正负号的规定确定扭矩方向的右手法则：4个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭矩的方向。扭矩正负号：离开截面为正，指向截面为负。外力偶矩正负号的规定和所有外力的规定一样，与坐标轴同向为正，反向为负指向截面离开截面T=Me2.扭矩和扭矩图外力偶矩的计算扭矩和扭矩图用截面法研究横截面上的内力扭矩正负规定右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)外力偶矩的计算扭矩和扭矩图扭矩图外力偶矩的计算扭矩和扭矩图4、扭矩图扭矩沿轴线各截面的分布情况用图形表示计算外力偶矩mNnNMmNnNMMmNnNMDDBCBAA63795505.477955015929550作扭矩图Tnmax=955N·mMBMCMDMABCAD477.5N·m955N·m637N·mTn例已知A轮输入功率为50kW，B、C、D轮输出功率分别为15、30、20kW，轴的转速为300r/min，画出该轴扭矩图。例传动轴如图所示，转速n=500转/分钟，主动轮B输入功率NB=10KW，A、C为从动轮，输出功率分别为NA=4KW，NC=6KW，试计算该轴的扭矩。ABC先计算外力偶矩Nm4.7650049550nN9550mAANm191500109550nN9550mBBNm6.11450069550nN9550mCC计算扭矩：AB段mAMn1设为正的xxMn10MX0mMA1nNm4.76mMA1nBC段Mn2设为正的Nm6.114M2nmcMn20MX二、扭矩T：当杆件受到外力偶作用发生扭转变形时，在杆横截面上产生的内力，称为扭矩T，单位为KN.m或N.m如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线方向所有横截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在轴上的外力偶矩。扭矩正负规定右手螺旋法则右手四指与扭矩转向一致，拇指指向截面外法线方向为正(+),反之为负(-)外力偶矩计算扭转内力——扭矩与扭矩图3扭矩的符号规定：“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则。让其它四指与T转向一致，右手拇指指向外法线为正。扭矩及扭矩图1扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。mmmTmTmTmx00x2截面法求扭矩4扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。目的①扭矩变化规律；②|T|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。xT当在轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴各段横截面上的扭矩将是不相等的，这时需用截面法确定各段横截面上的扭矩。外力偶矩计算扭转内力——扭矩与扭矩图三、扭矩图(diagramoftorsionmoment)：表征扭矩沿杆长的变化规律的图象(绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似）外力偶矩计算扭转内力——扭矩与扭矩图圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单位为N.m，尺寸单位为mm。试：画出圆轴的扭矩图。例题外力偶矩计算扭转内力——扭矩与扭矩图解：1．确定控制面外加力偶处截面A、B、C、D均为控制面2．截面法求各段扭矩3．建立T－x坐标系，画出扭矩图建立T－x坐标系，其中x轴平行于圆轴的轴线，T轴垂直于圆轴的轴线。将所求得的各段的扭矩值，标在Tx－x坐标系中，得到相应的点，过这些点作x轴的平行线，即得到所需要的扭矩图。315630486（—）（+）T（kN.m）x1103150315xMTT2203153150630xMTT3304860486xMTT315315T3315486T1T2外力偶矩计算扭转内力——扭矩与扭矩图例如图，主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min。试画出传动轴的扭矩图。3507004463695491146.300AMNm119549350.300BCMMNm149549446.300DMNm1350.BTMNm2()700BCTMMNm3446DTM(kNm)TTM截面一侧从最外母线看，外力偶切线方向与扭矩图从左到右突变方向相同。解：[例]已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nABCDm2m3m1m4解：①计算外力偶矩m)15.9(kN3005009.5555911nP.mm)(kN7843001509.55559232.nP.mmm)(kN3763002009.5555944.nP.mnABCDm2m3m1m4112233②求扭矩（扭矩按正方向设）mkN7840,02121.mTmTmCmkN569784784(,0322322.)..mmTmmTmkN376,04243.mTmT③绘制扭矩图mkN569max.TBC段为危险截面。xTnABCDm2m3m1m44.789.566.37––讨论题D扭转的概念与实例研究对象：圆截面直杆受力特点：作用在垂直于轴线的不同平面内的外力偶，且满足平衡方程:SMx=0变形特征：相对扭转角AB圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。扭矩与扭矩图扭矩：T是横截面上的内力偶矩。内力—由截面法求得。取左边部分平衡由平衡方程：0MTM0M0假想切面外力偶M0内力偶T由平衡方程：TMT0取右边部分M0M0假想切面取左边部分平衡外力偶M0扭矩T扭矩外力偶平衡TM0T和T是同一截面上的内力，应当有相同的大小和正负。32扭矩的符号规定：按右手螺旋法则确定扭矩的矢量方向，扭矩矢量的指向与截面的外法线方向一致者为正，反之为负。负M0TM0T正33以平行于杆轴线的坐标x表示截面的位置，以垂直于x轴的坐标表示截面扭矩值，即得到扭矩图。2010画扭矩图：mkN20mkN10mkN10xoCABmkNT/ABCmkN10TmkNTAB10AB段：mkN20TmkNTBC20BC段：345kN5kN3kNFN图+-5kN2kN8kN5kN2kN8kN5kN向简捷画法：2010mkNT/ABC在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。FN图（轴力）按右手法确定向mkN20mkN10mkN10xoCABT图35解：由功率－转速关系计算外力偶矩例某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入功率为PA=400KW，从动轮B、C和D的输出功率分别为PB=PC=120KW，PD=160KW。试作轴的扭矩图。nPMAA55.9mkN46.570040055.9nPMMBCB55.9mkN64.170012055.9nPMDD55.9mkN18.270016055.9BMBMCCMAMDAD最大扭矩在AB段，且mNT3280mkNMmkNMMmkNMDCBA18.264.146.5求各截面内力：BC段mkNT64.11CA段mkNT28.32AD段mkNT18.23BMBMCCMAMDADT1BMBBMBMCCT2MDDT3ACBDT/kN.m1.643.282.18T图mNMmNMMmNMDCBA218016405460简捷画法：BMBMCCMAMDAD3.282.18ACBDT/kN.mT图按右手法确定向1.64讨论：试作扭矩图2010T图按右手法确定向xoCAB40kN.mD20kN.m10kN.m10kN.mmkNT/ABCD20xoCAB40kN.mD10kN.m10kN.mAM求反力偶：mkNMA202010T图按右手法确定向mkNT/ABCD20T一、扭矩Torque1.定义：扭转内力偶矩，用T表示用截面法求扭矩TTMeMe∑Mx=0,T-Me=0T=Me留左半，求扭矩留右半，求扭矩∑Mx=0,Me–T=0T=Me扭矩的正负号：矩向量离开截面为正（图中T为正）1.定义：扭转内力偶矩，用T表示2.数值：可用截面法取局部平衡求出数值=截面一侧所有外扭转力偶矩之代数和3.正负号：矩向量离开截面为正（图中T为正）4.单位：N·m或kN·mTMexMBTI二、扭矩图已知：MA=1170N·mMB=MC=351N·mMD=468N·m求：作扭矩图解：1.计算各段扭矩T1=－MB=－351N·mTⅡ=－MB－MC=－351－351=－702N·mTⅢ=MD=468N·m2.作扭矩图351702468MADABCMBMCMDIⅡⅢMBMCTⅡMDTⅢT(N·m)设正的扭矩扭矩图简洁画法扭矩图应与原轴平行对齐画MADABCMBMCMDT(N·m)351702468内力图要求1.标明内力性质2.正确画出内力沿杆轴分布规律MADABCMBMCMDT(N·m)3517024681.计算各段扭矩2.作扭矩图3.标明特殊截面的内力数值5.注明单位(只在内力标志后面写一个即可）4.标明正负号作扭矩图步骤圆轴扭转时的应力与变形变形体静力学的基本研究思路：静