材料力学-梁的弯曲问题

例1图示简支梁受两个集中力作用，已知F1=12kN，F2=10kN，试计算指定截面1-1、2-2的内力。0BM0yFRR120ABFFFFR15kNAFR7kNBF解：(1)求支座反力12R2.51.530AFFFBAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m(2)求1-1截面上的内力0yF0OM1R1110.509kNmAMFFMFRAAFQ1M11mF10.5mkN301Q1Q1RAFFFFBAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m(3)求2-2截面上的内力0yF0OM1222R1.507m2k.0N5AFFMMFF2F1AM2FQ2FRARA12Q2Q207kNFFFFFRA12Q2FFFF1R2221.50.5AFMFFQ2RBFFBAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m结论：1梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面左侧（或右侧）所有竖向力（包括斜向外力的竖向分力、约束反力）的代数和；且截面左边向上（右边向下）的外力使截面产生正号的剪力。2梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧（或右侧）所有竖向力对该截面形心力矩的代数和（包括外力偶、约束反力偶）；且截面左边顺时针（右边逆时针）的力矩使截面产生正号的弯矩。RA12Q2FFFF1R2221.50.5AFMFFF2F1M2FQ2FRAMFQ例2试利用上述结论写出图示梁1-1截面上的剪力和弯矩的表达式。MRBFsin2Fql1F2lceqleMfFRBbfFsin2eF1qF1FRBlbcMeF2dαe11fMFQQF例3求图示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。0BMR684.51231.5AFR15kNAF0AMR681.51234.5BFR29kNBFFRB解：(1)求支座反力FRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m(2)求1-1截面的剪力FQ1、弯矩M1根据1-1截面左侧的外力计算可得：1M1MR1587kNAFFR221.526kNmAFFR37kNBqFR32.5426kNmBqF根据1-1截面右侧的外力计算可得可见计算结果完全相同。Q1FQ1FFRBFRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m(3)求2-2截面的剪力FQ2、弯矩M2根据2-2截面右侧的外力计算可得：2MR1.511kNBqFR1.50.751.530kNmBqFQ2FFRBFRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m15.3内力图──剪力图和弯矩图为了形象地看到内力的变化规律，通常将剪力、弯矩沿梁长的变化情况用图形表示出来，这种表示剪力和弯矩变化规律的图形分别称为剪力图和弯矩图。xMM函数图形具体作法是：剪力方程：弯矩方程：xFFQQ例4求作图示受均布荷载作用的简支梁的剪力图和弯矩图。解：(1)求支座反力RR2ABqlFFQFxxMR2AlFqxqxR22AxqFxqxxlx(2)列出剪力方程和弯矩方程取距左端为x处的任一截面，此截面的剪力和弯矩表达式分别为:xFRAFRBBqlAQ2lFxqxxlxqxM2(3)画剪力图、弯矩图，标出特征值FQ图ql/2ql/2ql2/8M图xFRAFRBBqlA例5简支梁受一集中力F=9ql和一集中力偶Me=ql2作用，试作出其剪力图和弯矩图。分析：1-1、2-2截面上的剪力结论：当梁中间受力较复杂时，剪力方程和弯矩方程不可能用一个统一的函数式来表达，必须分段列出其表达式。分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷载的起点和终点为界(分段点如何确定？)1122（?）3344BA(O)lCDFMel/3l/3解：(1)求支座反力R5AFqlR4BFqlQR5AFxFqlR5AMxFxqlx(2)分三段AC、CD、DB列出剪力方程和弯矩方程AC段FRAFRBBA(O)lCDFMel/3l/3CD段QFxxMQFxxMR4AFFql2R334AFxFxlqlqlxR4AFFql2R344AeFxFxlMqlqlxDB段FRAFRBBA(O)lCDFMel/3l/3ql5ql4253ql23ql243qlQ544qlFxqlqlqlxqlqlxqlxqlxM4443522(3)画剪力图、弯矩图，标出特征值FQ图M图R5AFqlR4BFql1122BA(O)CDFRAFRBlFMel/3l/3结论：●当梁上荷载有变化时，剪力方程和弯矩方程不可能用一个统一的函数式来表达，必须分段列出其表达式。分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷载的起点和终点为界。●剪力图和弯矩图一般是连续的。在集中力作用处剪力图发生突变，突变的数值等于集中力的大小，方向与集中力的方向相同；在有集中力偶作用的地方弯矩图发生突变，突变的数值等于集中力偶的大小，方向为“顺下逆上”。15.4弯矩、剪力、荷载集度之间的关系一、弯矩、剪力、荷载集度之间的关系QddMxFxxQddFxqxx0xqQ544qlFxqlqlqlxqlqlxqlxqlxM4443522BA(O)CDlFMel/3l/3二、剪力图、弯矩图的规律q0FQ直线段FQ=0000000=00MM★结论（规律）：(2)当梁的支承情况对称，荷载反对称时，则弯矩图永为反对称图形，剪力图永为对称图形。(1)当梁的支承情况对称，荷载也对称时，则弯矩图永为对称图形，剪力图永为反对称图形；FQ图M图CBAq/2EIlABCEIlq/2q/2例7图示左端外伸梁，外伸端A作用一集中力偶Me=qa2，BA段所受荷载的分布集度为q，试利用微分关系作梁的剪力图、弯矩图。0yF0AMRA76FqaRB116Fqa解：(1)求支座反力三、画剪力图、弯矩图的简便方法Bq3aAMeCaFRAFRB(2)作剪力图(3)作弯矩图aqqax6767maxMRB116FqaRA76Fqa2721211211611611611qaaaqaqax7/6qa11/6qa=121/72qa2FQ图M图MeMmaxBq3aAMeCaFRAFRB2m2m2mFRA=5kNFRB=4kNP=3kNM1=2kNmM2=6kNmq=1kN/m2mBA++466683222FQ(kN)M(kNm)例8作梁的内力图aqQFMqqaaaqa22/qa22/qaqaqaqa2qaqa3qa2qa22qa22qa22qaq2qaa2aaQFMqa5qaACBD结论：q、F、Me共同作用时产生的内力等于q、F、Me分别单独作用时产生的内力之和。因此，当梁上有几种（或几个）荷载作用时，可以先分别计算每种（或每个）荷载单独作用时的梁的反力和内力，然后将这些分别计算所得的结果代数相加得梁的反力和内力。这种方法称为叠加法。15.5叠加法作剪力图和弯矩图BqACMeDlbaF线弹性，位移可以叠加Δ1F1F1+F2ΔF2Δ2FΔOFΔOFΔOΔ2Δ112+FΔOFΔOFΔO非线性弹性，位移不可以叠加F1Δ1F2Δ2F1+F2ΔΔ212+1叠加原理成立的前提条件：（1）小变形（2）材料满足虎克定理（线性本构关系）当变形为微小时，可采用变形前尺寸进行计算。1、叠加原理：当梁在各项荷载作用下某一横截面上的弯矩等于各荷载单独作用下同一横截面上的弯矩的代数和。2、区段叠加法作弯矩图：设简支梁同时承受跨间荷载q与端部力矩MA、MB的作用。其弯矩图可由简支梁受端部力矩作用下的直线弯矩图与跨间荷载单独作用下简支梁弯矩图叠加得到。即：+MAMBM0++MAMBM0弯曲内力xMxMxM0BMAAqMBlB1q(x)=0QFxCQ10Fx结论:弯矩图为一水平直线。FQM+lABMeQ20FxC结论:剪力图为一水平直线，弯矩图为斜率的绝对值等于FS一斜直线（＼）。lFABFQFMFl-Q30FxClFABFQF-MFl+结论:剪力图为一水平直线，弯矩图为斜率的绝对值等于FS一斜直线（／）。2q(x)0结论:剪力图为斜率等于q的一斜直线（／），弯矩图为抛物线（开口向下）。BqlAM图FQ图ql/2ql/23q(x)0结论:剪力图为斜率等于q的一斜直线（＼），弯矩图为抛物线（开口向上）。qBlAxFQ图ql/2ql/2ql2/8M图4集中力F作用处R1AaFFlRBaFFl结论:在集中力作用处剪力图发生突变(弯矩不变)，突变的数值等于集中力的大小，方向与剪力的方向相同。laF1laF1FQ图alaF1M图FRAFRBlFaAB5集中力偶Me作用处结论:在有集中力偶作用的地方弯矩图发生突变(剪力不变)，突变的数值等于集中力偶的大小，方向为“顺下逆上”。lMFeRAlMFeRBlMeeeMlbMlbMelMebxFQ图M图FRAFRB例9试判断图示各题的FQ、M图是否正确，如有错请指出并加以改正。lFABMxFl-MeABlMx+Me3mAq=20kN/mBF=70kN1mCFQxMx++60kN50kN60kN.mRB50kNFRA60kNF23.6kN.m144.2kN.mM+x36.4kNFQ+23.6kNx4m1mCDq=15kN/mA5.5mBMe=10kN.mFRA=36.4kNFRB=23.6kN由图可知，在梁的AC、DB两段内，各横截面上既有剪力又有弯矩，这种弯曲称为剪切弯曲(或横力弯曲)。在梁的CD段内，各横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲。15.6梁横截面上的正应力计算1、剪切弯曲内力剪力Q切应力t弯矩M正应力σ2、纯弯曲内力：弯矩M正应力σ由以上定义可得：1.纯弯曲实验①横向线(ab、cd）变形后仍为直线，但有转动（一）梁的纯弯曲实验纵向对称面bdacabcdMM②纵向线变为同心圆弧曲线，且上缩下伸③横向线与纵向线变形后仍正交。④横截面高度不变。纯弯曲梁上正应力的确定（2）纵向纤维间无挤压、只受轴向拉伸和压缩。（1）平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，并垂直于变形后梁的轴线。中性层纵向对称面中性轴（横截面上只有正应力）2.根据上述的表面变形现象，由表及里地推断梁内部的变形，作出如下的两点假设：3.两个概念①中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。②中性轴：中性层与横截面的交线。中性层纵向对称面中性轴•M—横截面上的弯矩•y—所计算点到中性轴的距离•Iz—截面对中性轴的惯性矩ZIMy4.正应力公式不仅适用于纯弯曲，也适用于剪力弯曲；适用于所有截面。5.应力正负号确定M为正时,中性轴上部截面受压下部截面受拉;M为负时,中性轴上部截面受拉下部截面受压.在拉区为正,压区为负最大正应力危险截面:最大弯矩所在截面Mma危险点：距中性轴最远边缘点ymaxmaxmaxmaxzMyImaxyIWzz抗弯截面模量。zWMmax令则一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；5.最大正应力DdDd)1(3243maxDyIWzz圆环bd621223maxbhhbhyIWzz矩形322/64/34maxdddyIWzz