《数学》(基础模块)上册

数学（基础模块）上册目录第1章集合第2章不等式第3章函数第4章指数函数与对数函数第5章三角函数第1章集合1.1集合的概念及表示方法1.2集合之间的关系1.3集合的运算1.4充要条件返回内容简介：本章主要讲述集合的有关概念及集合的表示方法、集合之间的关系、集合的运算、充要条件，主要通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.学习目标：理解集合的有关概念，并掌握集合的表示方法，掌握集合之间的关系和集合的运算，了解充要条件.1.1集合的概念及表示方法概念由某些指定的对象集在一起所组成的整体就叫做集合，简称集.组成集合的每个对象称为元素.1.1.1集合的概念思考0?集合一般采用大写英文字母A、B、C…来表示，它们的元素一般采用小写英文字母a、b、c…来表示.如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作Aa；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作Aa.一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.概念集合的性质：（1）集合的元素具有确定性；（2）集合的元素具有互异性.由数所组成的集合称作数集.我们用某些特定的大写英文字母表示常用的一些数集：所有非负整数所组成的集合叫做自然数集，记作；所有正整数所组成的集合叫做正整数集，记作；所有整数组成的集合叫做整数集，记作；所有有理数组成的集合叫做有理数集，记作；所有实数组成的集合叫做实数集，记作.NNZQR归纳根据集合所含有元素个数可以将其分为有限集和无限集两类.含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的结合叫做无限集.1.1.2集合的表示方法1.列举法把集合的元素一一列举出来，元素中间用逗号隔开，写在花括号“｛｝”中用来表示集合，这种方法即为列举法.例如，由小于5的自然数所组成的集合用列举法表示为：自然数集为无限集，用列举法表示为：N{0,1,2,3,,,}.n{0,1,2,3,4};用列举法表示集合可以明确地看到集合中的每一个元素，而用描述法表示集合可以很清晰地反映出集合元素的特征性质，因此在具体的应用中要根据实际情况灵活选用.提示返回2.描述法把描述集合元素的特征性质或表示集合中元素的规律写在花括号内用来表示集合的方法叫做描述法.例如，由大于2的所有实数所组成的集合用描述法表示为：{|2,}xxxR花括号内竖线左侧的x表示这个集合中的任何一个元素，元素x从实数R中取值，竖线的右侧写出的是元素的特征性质.概念1.2集合之间的关系1.2.1子集一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A就叫做集合B的子集，记作AB或BA，读作“A包含于B”或“B包含A”.如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作AB或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”，可用下图直观地表示.规定空集是任意一个集合的子集，即对于任意一个集合，都有.AA返回任意一个集合A都是它自身的子集，即AA.想一想集合{}是空集吗？0,,{0},{}之间有什么区别？1.2.2集合的相等一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，或者集合B的每一个元素都是集合A的元素，那么就说集合A等于集合B.概念1.3集合的运算一般地，像上述那样给定两个集合A、B，由既属于A又属于B的所有共同元素构成的集合叫做集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”.1.3.1交集集合A和集合B的交集可以用下图的阴影部分来形象地表示.概念一般地，对于两个给定的集合A，B，由集合A和B的所有元素组成的集合叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作“A并B”.1.3.2并集集合A和集合B的并集可以用下图中的阴影部分来表示.概念1.3.3补集在研究集合与集合的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，则称这个给定的集合为全集，一般用U表示.在研究数集时，常常把实数集R作为全集.如果给定某一集合A是全集U的一个子集，则U中不属于A的所有元素组成的集合叫做A在全集U中的补集，记作UA，读作“A在U中的补集”，即UA=｛x︱x∈U且xA｝.全集U与它的任意一个真子集A之间的关系可用下图来表示，其中阴影部分表示A在U中的补集.归纳学习提示在求并集时，两个集合中相同的元素只列举一次，不能重复列举.两个非空集合的交集可能是空集吗？试举例说明想一想返回由补集的定义可知，对于任意集合A，都有1.4充要条件已知条件和结论：（1）如果由条件成立可推出结论成立，则说明条件是结论的充分条件，记作“”.（2）如果由结论成立可推出条件成立，则说明条件是结论的必要条件，记作“（或）”.（3）如果，且，那么是的充分且必要条件，简称充要条件，记作“”.pqppqqpqqqppqppqpqpqpqpq返回第2章不等式2.1不等式的基本性质2.2区间2.3一元二次不等式及其解法2.4含绝对值的不等式返回内容简介：本章主要讲述了不等式的基本性质，并对其进行了证明；然后结合数轴图形来阐述了区间的概念及表示方法；又结合一元二次方程和一元二次函数图象来讲述了一元二次不等式及其解法，并穿插了用几何画板来绘制函数图像的软件练习，以拓展学生的视野并激发其学习兴趣；最后介绍了含绝对值的一元一次不等式及其解法.学习目标：理解不等式的基本性质，掌握区间的概念及表示方法，掌握一元二次不等式的解法，了解含绝对值不等式的解法.2.1不等式的基本性质2.1.1实数大小的比较对于任意两个实数，有,ab0;0;0.abababababab已知实数，且，试比较和的大小.,ab0ab2ab2ab思考性质3性质2表明，不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向不变，因此性质2称为不等式的加法性质.性质2性质12.1.2不等式的基本性质如果a＞b，且b＞c，则a＞c.如果a＞b，则a+c＞b+c.性质1所描述的不等式的性质称为不等式的传递性.性质3表明，不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的反向改变.因此性质3称为不等式的乘法性质返回如果a＞b，c＞0，则ac＞bc；如果a＞b，c＜0，则ac＜bc.2.2区间区间是数集的一种表示形式，其表示形式与集合的表示形式相同。区间分为有限区间和无限区间.概念由数轴上两点之间的所有实数所组成的集合叫做区间，这两个点叫做区间端点.不含端点的区间叫做开区间，含有两个端点的区间叫做闭区间，只含有左端点的区间叫做右半开区间，只含有右端点的区间叫做左半开区间.学习提示与只是符号，而不表示具体的数.返回概念2.3一元二次不等式及其解法一般地，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式，叫做一元二次不等式，它的一般形式为ax2+bx+c＞（≥）0或ax2+bx+c＜（≤）0，其中，a、b、c为常数，且a≠0.解一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a0）或ax2+bx+c＜0（a0）一般可分为如下三种情况：（1）当方程ax2+bx+c=0的判别式=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根x1、x2（x1＜x2），此时不等式ax2+bx+c＞0的解集为（-∞，x1）∪（x2，+∞）；不等式ax2+bx+c＜0的解集为（x1，x2）.（2）当方程20axbxc的判别式240bac时，方程没有实数根，此时不等式20axbxc的解集为实数集R，不等式20axbxc的解集为.（3）当方程20axbxc的判别式240bac时，方程有两个相等的实数根0x，此时不等式20axbxc的解集为00(,)(,)xx，不等式20axbxc的解集为.如果一元二次不等式中的二次项系数是负数，即0a，则可以根据不等式的性质，将不等式两边同乘以1，使其二次项系数化为正数，然后再求解.返回2.4含绝对值的不等式概念绝对值符号内含有未知数的不等式叫做含绝对值的不等式.不等式的解法一般地，不等式(0)xaa的解集为(,)(,)aa，不等式(0)xaa的解集为(,)aa.axbc或(0)axbcc型不等式转化为xa或(0)xaa型不等式来求解.这种方法称为“变量替换法”或“换元法”.返回第3章函数3.1函数的概念3.2函数的表示方法3.3函数的性质返回内容简介：函数是研究客观世界变化规律和集合之间关系得一个最基本的数学工具.本章介绍了函数的概念，函数的三种表示方法及其基本性质，并通过实际的例子介绍了函数的实际应用.学习目标：理解函数的概念，理解函数的三种表示方法，理解函数的单调性和奇偶性，了解函数的实际应用.概念设集合D是一个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于D中的任意一个数x，都有唯一确定的数y与之对应，则这种对应关系叫做集合D上的一个函数，记作,),(Dxxfy其中x叫做自变量，自变量x的取值范围（集合D）叫做函数)(xf的定义域，所有函数值构成的集合Dxxfyy),(叫做函数)(xf的值域.当0xx时，函数()yfx对应的值0y叫做函数在点0x处的函数值，记作00()yfx.3.1函数的概念学习提示（1）两个函数相同必须是它们的定义域和对应法则分别完全相同.（2）有时给出的函数没有明确说明定义域，此时的定义域就是使函数关系式有意义的所有实数构成的集合;在实际问题中，函数的定义域还要受到自变量实际意义的制约.由定义可知，一个函数的确定只需要两个要素：定义域和对应法则.返回方法23.2函数的表示方法方法1通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法.方法3利用图像表示函数的方法叫做图像法.拓展学习利用Excel软件作函数的图像.3.2.1函数的三种表示方法在函数Dxxfy)(中，)(xf是用代数式或解析式来表达的方法叫做解析法.3.2.2分段函数概念在定义域的不同部分有不同对应法则的函数叫做分段函数.尝试解决（1）函数是分段函数吗？（2）函数能用图像法表示吗？0,,0,)(xxxxxxf是无理数是有理数，xxxD,0,1)(返回3.3函数的性质3.3.1函数的单调性一般地，设函数)(xfy的定义域为D，区间DI.如果取区间I中的任意两点21xx、，则（1）当21xx时，都有)()(21xfxf成立，那么函数)(xfy叫做区间I上的增函数（或单调递增函数），区间I叫做函数)(xfy的增区间.（2）当21xx时，有)()(21xfxf成立，那么函数)(xfy叫做区间I上的减函数（或单调递减函数），区间I叫做函数)(xfy的减区间.概念在某一区间上单调增加或单调减少的函数叫做在这个区间上的单调函数，该区间叫做这个函数的单调区间.函数的单调性是函数局部的一个性质.思考提示定义中“任意”两个点1x、2x，可以改成“存在”两个点1x、2x吗？3.3.2函数的奇偶性设函数)(xfy的定义域为D，如果对D内的任意x，都有Dx，且)()(xfxf，则这个函数叫做偶函数，其图像关于y轴对称.设函数)(xfy的定义域为D，如果对D内的任意x，都有Dx，且)()(xfxf,则这个函数叫做奇函数,其图像关于原点对称.学习提示（1）如果一个函数的图像关于轴对称，这个函数也一定是偶函数；如果一个函数的图像关于原点对称，这个函数也一定是奇函数.（2）一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域一定关于原点对称.想一想返回),(baM关于x轴的对称点坐标怎么表示？第4章指数函数与对数函数4.1实数指数幂4.2指数函数4.3对数4.4对数函数返回内容简介：本章完成了由正整数指数幂到实数指数幂及其运算的逐步推广过程，介绍了指数函数的概念、图像和性质，引入了对数概念及运算法则，并在此基础上，介绍了指数函数的概念、图像和性质.学习目标：理解有理数指数幂；掌握实数指数幂及其运算法则；了解幂函数，理解指数函数的图像和性质；了解指数函数的实际应用，理解对数的概念；掌握利用计算器求对数值；了解积、商、幂的