分数巧算基础知识

分数巧算基础知识进行分数简便运算时，运用分数的基本性质、结合四则运算定律进行计算；也可在分数值不变的情况下，将分数分拆，使运算简便。一、基础知识1、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。这叫做分数的基本性质。2、常用运算定律加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋ca＋(b＋c)＝(a＋c)+b乘法交换律：ab＝ba乘法结合律：abc＝(ab)c＝a(bc)＝(ac)b乘法分配律：a(b＋c)＝ab＋acab＋ac=a(b＋c)减法的运算性质：a－b－c＝a－(b＋c)除法的运算性质：a÷b÷c＝a÷(b×c)a÷(b×c)=a÷b÷c=a÷c÷ba÷b×c＝a÷(b÷c)a÷(b÷c)=a÷b×c3、分数变形：分子是1，分母是非零的自然数的真分数叫分数单位。运算时可以把分数拆分成单位分数，以方便运算。11×2=1－2112×3=21－3113×4=31－4121+31=3232X=65（分子是1的两个分数相加，和的分子是两分母之和，和的分母是两分母的乘积）12×4=（21－41）×21（分母两数差为2，所以乘以21）15×9=（51－91）×41（分母两数差为4，所以乘以41）第二节分数巧算方法1、凑整法在整数简单运算中，是把数字凑成整十、整百、整千等整数。而在小分和分数运算中，是把分数凑成整数，便于计算。例题：341+632+143+831=(341+143)+(632+831)=5+15=202、改顺序通过改变分数式中的先后顺序，使运算算简便。常见有以下几种方法：（1）加括号性质在一个只有加减法运算的算式中，给算式的一部分添上括号，如果括号前面是加号，那么括号里面的运算符号都不改变；如果括号前面是减号，那么括号里面的运算符号都要改变，即加号变减号，减号变加号。用字母表示：a+b-c=a+(b-c)a-b+c=a-(b-c)a-b-c=a-(b+c)例题：2178－1136－137=2178－(1136+137)=2178－2=178（2）去括号性质在一个有括号的加减法运算的算式中，将算式中的括号去掉，如果括号前面是加号，那么去掉括号后，括号里面的运算符号都不改变；如果括号前面是减号，那么括号里面的运算符号都要改变，即加号变减号，减号变加号。用字母表示：a+（b-c）=a+b-ca-（b+c）=a-b-ca-（b-c）=a-b+c例题：376－(495－171)=376+171－495=5－495=94（3）分数搬家在连减或加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时，可以带着符号“搬家”，用“字母”表示：a-b-c=a-c-ba-b+c=a+c-b例题：272+365－172+161=(272－172)+(365+161)=1+5=63、提取公因数当几个乘积相加减，而这些乘积中又有相同的因数时，我们可以采用提取公因数的方法进行巧算。如果乘积中另外几个因数相加减的结果正好凑成整十、整百、整千、整万的数，或是是一些比较简单的数，那么计算就更为简便。这种方法叫“提取公因数法”。例1：简单提取法31×152－2×31+31×153=31×(152－2+153)=31×(3－2)=31×1=31对于复杂的分数算式，要根据算式特点，进行一定的转化，创造条件后再运用提取公因数的方法来简算。例2：254×23.4＋11.1×57.6＋6.54×28=＝2.8×23.4＋2.8×65.4＋11.1×8×7.2＝2.8×（23.4＋65.4）＋88.8×7.2＝2.8×88.8＋88.8×7.2＝88.8×（2.8＋7.2）＝88.8×10＝888例3：33338721×79+790×6666141＝333387.5×79+790×66661.25＝33338.75×790+790×66661.25＝（33338.75+66661.25）×790＝100000×790＝79000000例4：53×172+0.6×175－261×60%例5：56×113+59×213+518×613=53×172+53×175－261×53＝16×513+29×513+618×513=53×(172+175－261)＝（16+29+618）×513=53×(3－261)＝1318×513=53×65＝518=214、拆数法一组分数混合运算时，为了能够“凑整”或凑成比较简单的数，常常需要先把分数中分子或分母进行拆分，再来进行分组运算。这种巧算方法叫“拆分法”，也叫“分解分组法”。例1：125124×78例2：12588×126=（1－1251）×78=12588×（125+1）=278-12578=12588×125+12588=27712547=88+12588=8812588例3：15×27+35×41例4：166120÷41＝35×9+35×41＝（164+2120）÷41＝35×（9+41）＝164÷41+4120÷41＝35×50＝4+120＝30＝4120例5：11×2+12×3+13×4+…..+199×100=1－21+21－31+31－41+……+991－1001=1－1001=10099例6：12×4+14×6+16×8+…..+148×50原式＝（22×4+24×6+26×8+…..+248×50）×12＝[（12－14）+（14－16）+（16－18）…..+（148－150）]×12＝[12－150]×12＝6255、代数法在相同数字较多的分数式中，用字母表示式子中的一部分，使运算更加方便。这就是分数式中的代数法。例：（1+21+31+41）×（21+31+41+51）－（1+21+31+41+51）×（21+31+41）解：设（21+31+41）为A。原式=（1+A）×（A+51）－（1+A+51）×A=A+51+A2+51A－A－A2－51A=51