基本不等式知识点归纳

基本不等式知识点总结向量不等式：||||||||||||ababab≤≤【注意】：ab、同向或有0||||||abab≥||||||||abab；ab、反向或有0||||||abab≥||||||||abab；ab、不共线||||||||||||ababab.(这些和实数集中类似)代数不等式：,ab同号或有0||||||||||||abababab≥；,ab异号或有0||||||||||||abababab≥.绝对值不等式：123123aaaaaa≤(0)abababab时,取等双向不等式：ababab≤≤（左边当0(0)ab≤≥时取得等号，右边当0(0)ab≥≤时取得等号.）放缩不等式：①00abam，，则bmbbmamaam.【说明】：bbmaam（0,0abm，糖水的浓度问题）.【拓展】：，则，，000nmbabanbnamambab1.②,,abcR，bdac，则bbddaacc；③nN，1112nnnnn；④,1nNn，21111111nnnnn.⑤ln1xx≤(0)x,1xex≥()xR.函数()(0)bfxaxabx、图象及性质(1)函数0)(baxbaxxf、图象如图：(2)函数0)(baxbaxxf、性质：①值域：),2[]2,(abab；②单调递增区间：(,]ba，[,)ba；单调递减区间：(0,]ba，[,0)ba.xabab2ab2aboy基本不等式知识点总结重要不等式1、和积不等式：,abR222abab≥(当且仅当ab时取到“”)．【变形】：①222()22ababab≤≤（当a=b时，222()22ababab）【注意】：(,)2abababR≤，2()(,)2abababR≤2、均值不等式：两个正数ba、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”2222“”1122ababababababab≤≤≤（当且仅当时取）*.若0x，则12xx(当且仅当1x时取“=”）;若0x，则12xx(当且仅当1x时取“=”）若0x，则11122-2xxxxxx即或(当且仅当ba时取“=”）*.若0ab，则2abba(当且仅当ba时取“=”）若0ab，则22-2abababbababa即或(当且仅当ba时取“=”）3、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：3333abcabc≥（0abc等式即可成立，时取等或0cbacba）；33abcabc≤3()3abcabc≤3333abc≤*不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0ab时，abba222同时除以ab得2baab或baab11。*,,ba均为正数，baba22八种变式：①222baab；②2)2(baab；③2)2(222baba④)(222baba；⑤若b0,则baba22；⑥a0,b0,则baba411；⑦若a0,b0,则abba4)11(2；⑧若0ab，则222)11(2111baba。上述八个不等式中等号成立的条件都是“ba”。最值定理（积定和最小）①,0,2xyxyxy≥由，若积()xyP定值，则当xy时和xy有最小值2p；（和定积最大）②,0,2xyxyxy≥由，若和()xyS定值，则当xy是积xy有最大值214s.【推广】：已知Ryx,，则有xyyxyx2)()(22.（1）若积xy是定值，则当||yx最大时，||yx最大；当||yx最小时，||yx最小.（2）若和||yx是定值，则当||yx最大时，||xy最小；当||yx最小时，||xy最大.③已知,,,Raxby，若1axby，则有则的最小值为：21111()()2()byaxaxbyababababxyxyxy≥④已知，若则和的最小值为：①.②应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：⑴凑系数（乘、除变量系数）.例1.当04x时，求函的数(82)yxx最大值.⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知54x，求函数1()4245fxxx的最大值.⑶调整分子：例3.求函数2710()(1)1xxfxxx的值域；⑷变用公式：基本不等式2abab有几个常用变形,2222abab，222()22abab不易想到，应重视；例4.求函数152152()22yxxx的最大值；⑸连用公式：例5.已知0ab，求216()yabab的最小值；⑹对数变换：例6.已知1,12xy，且xye，求ln(2)ytx的最大值；⑺三角变换：例7.已知20yx≤，且tan3tanxy，求txy的最大值；⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知0,0ab，且21ab，求11tab的最小值.“单调性”补了“基本不等式”的漏洞：⑴平方和为定值若22xya（a为定值，0a），可设cos,sin,xaya，其中02≤.①(,)sincos2sin()4fxyxyaaa在15[0,],[,2)44上是增函数，在15[,]44上是减函数；②1(,)sin22gxyxya在1357[0,],[,],[,2)4444上是增函数，在1357[,],[,]4444上是减函数；③11sincos(,)sincosxymxyxyxya.令sincos2sin()4ta，其中[2,1)(1,1)(1,2]t.由212sincost，得22sincos1t，从而222(,)1(1)()tmxyatatt在[2,1)(1,1)(1,2]上是减函数.⑵和为定值若xyb（b为定值，0b），则.ybx①2(,)gxyxyxbx在(,]2b上是增函数，在[,)2b上是减函数；②211(,)xybmxyxyxyxbx.当0b时，在(,0),(0,]2b上是减函数，在[,),(,)2bbb上是增函数；当0b时，在(,),(,]2bbb上是减函数，在[,0),(0,)2b上是增函数.③2222(,)22nxyxyxbxb在(,]2b上是减函数，在[,)2b上是增函数；⑶积为定值若xyc（c为定值，0c），则.cyx①(,)cfxyxyxx.当0c时，在[,0),(0,]cc上是减函数，在(,],[,)cc上是增函数；当0c时，在(,0),(0,)上是增函数；②111(,)()xycmxyxxyxycx.当0c时，在[,0),(0,]cc上是减函数，在(,],[,)cc上是增函数；当0c时，在(,0),(0,)上是减函数；③222222(,)()2ccnxyxyxxcxx在(,),(0,]cc上是减函数，在(,0],[,)cc上是增函数.⑷倒数和为定值若112xyd（d为定值，111,,xdy），则.cyx成等差数列且均不为零，可设公差为z，其中1zd，则1111,,zzxdyd得,.11ddxydzdz.①222()1dfxxydz.当0d时，在11(,),(,0]dd上是减函数，在11[0,),(,)dd上是增函数；当0d时，在11(,),(,0]dd上是增函数，在11[0,),(,)dd上减函数；②222(,).1dgxyxydz.当0d时，在11(,),(,0]dd上是减函数，在11[0,),(,)dd上是增函数；当0d时，在11(,),(,0]dd上是减函数，在11[0,),(,)dd上是增函数；③222222222(1)(,).(1)ddznxyxydz.令221tdz，其中1t≥且2t，从而22222(,)4(2)4dtdnxyttt在[1,2)上是增函数，在(2,)上是减函数.