GRIN-球透镜的光学轨迹

第28卷第1期Vol.28No.1西南师范大学学报(自然科学版)JoumalofSouthwestChinaNom叫Universi可(NaturalScience)2003年2月Feb.2003文章编号ω0-5471(2003xn-0076-03GRIN球透镜的光学轨迹④周素梅，刘德森，刘晓东西南师范大学物理系，重庆4∞715摘要:研究了二次抛物线型的GlliN球，透镜的光线轨迹方程式;得出其轨迹为椭圆由线及一些重要结论.关键词:球透镜GlliN球透镜，光线轨迹中图分类号:ω35.1文献标识码AGRIN球透镜的折射率分布是以球心为对称中'l二，折射率沿球半径方向按一定规律变化，等折射率面为一系同心球形[!l由于其几何形状高度对称、外形易加工[川、焦距短、结构排列紧凑等优点而成为真正最简单、最为经济的微小光学器件，在微小光学和集成光学领域及信息领域中有着广泛的应用前景.本文主要研究二次抛物线型的GRIN球透镜的光线轨迹.1GRIN球透镜中的光线轨迹玻璃球经一步离子交换后，其折射率分布呈二次抛物线型，即球向折射率分布.折射率分布函数表达式为[IJn(r)二以oX1-士的其中4为GRIN球透镜的折射率分布常数，.62.6rz2=::(互严(2)3b-3αA表示相对折射率差，α为玻璃球的半径，川0)为离子交换前玻璃的折射率，假设离子交换则好到达球心，则n(O)为GRIN球透镜球心的折射率.设研究的球透镜为微球，满足Ar21.可将(1)幕级数展开，忽略高阶项后为、、，，，一咽'1/，t、\n(r)=n(OX1-Ar2)f(3)(4)n(r)=11+[n气O)-1]-ArJ(O)r2jf根据文献[3]，令L=do)-1去=An2(0)(5-1)(5-2)其中F为焦距，α为球透镜半径.由文献[4]n(r)去grad1.Jr(6)①收稿日期2002-ω-25作者简介·周素梅(1976-)，女，重庆江津人，硕士研究生，主要从事变折射率光学和微小光学方面的研究.77周素梅，等GRIN~求透镜的光学轨迹第1期(7)^,n(r)令dt巾，ds为光线轨迹上的一微分段，dt称为渡越时间，表示光线通过距离为ds所需要的时间，并令c1.1.[1'=Jn(r)ds其中?为程函函数(8)古grad1.[l'(6)式可写为(9)íJ(~n2)(6)式两端对s微分d2rdt2根据(8)，(9)及(7)可写出(8)，(9)式的分量形式有押一副ψ-AL川-L盯dγ01.[1'一…­dt-~y-oy、、，，，一AUtEA/，t、\dz01.[1'一…­dt-~z-oz、、，，，一tEAtEA/，t、\(12)及d2xo(1气一(~n2)dt牛-ox'2d2γδ1立斗一(~n2)dtL-oy'2d2z0(1气二一(~n2)dt牛δIZ'2将(4}f-t入(11)，考虑到r=x2+泸+二，可得生=-An2(O)Xdt~车号=-An2(0)γdt~d2号=-An2(o)zdt~由文献[1]可知，光线在GRIN球透镜中为平面曲线，故由(12)式中的前两个方即可解得在归，川平面内的光线轨迹方程式为(13)x=kjco,[/An(O)t]+k2siJ/An(O)t]y=k3co,[/An(0)t]+k4siJ/An(0)t]其中kj,k2,k3,k4为待定常数，由初始条件研究.设点置于焦点处，当t=0，即在初始时刻时，有克二-F(14)y=0丰=/An(0)acosadt中=/An(0)asinadtk一一1j--/A以0)k2αcosα可得78西南师范大学学报(自然科学版)第28卷k3=0k4=αSlnα(15)所以(13)式改写为克二一」一~coJ/An(O)t]+αco…n[/An(O)t]J立以0)y=αSln们iJ/An(O)t]再消去参变量t，即得(16)COSα7，COS2α11克-LXγ一一一一+γ「一一一一一+~~JsinαTjLsin2α-，-An2(0)α28in2α~-An2(0)(17)2讨论(1)由公式(17),(5-1),(5-2)可知，GRIN球透镜中光线轨迹是以α为参数的椭圆曲线.(2)当n(0hfi时，F=α，即焦点位于GRIN球透镜表面，由(4)式可得n(r)=[2-(工片(18)(5-1)式与(5-2)式相比，并整理得IP--4几(19)此即为Luneburg透镜折射率分布的特殊情况，这种透镜可以将入射到球面的平行光束聚于球表面一点，相应地Lunebu电透镜的光线轨迹方程为z281n2α-2xycosαSlnα+Y气1+COS2α)=α281n2α(3)当n(0hfi时，Fα，此时GRIN球透镜的焦点在其内部.(4)当1n(0)fi时，F=α,GRIN球透镜的焦点在其外部，由于玻璃的折射率一般都Jn2(0)-1是大于1.4，所以玻璃材料的GRIN球透镜的焦点大都在透镜内部.(20)参考文献:[1J刘德森，高应俊.变折射率介质的物理基础[MJ.北京:国防工业出版社，1991.[2J易伍民，章国)1目制作球对称梯度折射率微球透镜精确控制折射率剖面形成的方法[JJ.硅酸盐学报，1995,2页5):559564.[3J乔亚天.梯度折射率光学[MJ.北京:科学出版社，1991.[4JBomM,WolfE.Principles%ptics[MJ.7thedition.北京:兴国图书出版公司，1999.TheStudiesontheRayTraceofGRINBallLensZHOUSu-mei,LIUDe-sen,LIUXiao-dong口3pt.off习hysícs.Southv阳stChínaf、vormafUníversíty.Cho门gq们9400715.Ch们aAbstract:Sinceeachrayinasphericalgradient-indexspherelensliesinaplaneincludingthecentralpoint,theauthoranalysestherayequationinCartesiancoordinate.At1m吭，theauthorobtainedtheequationofraytraceintheGRINballlenswiththeindexprofilewhichisquadraticanddrewsomeimportantconclusions.Keywords:balllens;GRINballlens;raytrace责任编辑:番春羔