二项式定理公开课课件

（二）、创设情境——引出问题问题:今天是星期三,7天后的这一天是星期几呢？15天后的这一天呢？算法：用各个数除以7，看余数是多少，再用三加余数来推算)()nabnN（的展开式是什么？若今天是星期三,再过8100天后的那一天是星期几?的余数是多少？除以78100100100)17(8推陈出新()1ab()2ab()3ab()4ab=?()5ab=?……（三）、存疑设问——突破难点222aabbab?对展开式的分析2)(ba(a+b)2是2个(a+b)相乘，即(a+b)2=(a+b)*(a+b)=(a+b)*(a+b)=aa+ab+ba+bb每个(a+b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a+b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项。(a+b)2＝(a+b)(a+b)展开后其项的形式为：a2，ab，b2这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21恰有2个取b的情况有C22种，则b2前的系数为C22每个都不取b的情况有1种，即C20,则a2前的系数为C20(a+b)2=a2+2ab+b2＝C20a2+C21ab+C22b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3对(a+b)2展开式的分析(a+b)4＝(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)＝？问题：1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？2)．各项前的系数代表着什么？3)．你能分析说明各项前的系数吗？a4a3ba2b2ab3b4各项前的系数代表着这些项在展开式中出现的次数a4a3ba2b2ab3b4都不取b取一个b取两个b取三个b取四个b项：系数：(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)4=C40a4+C41a3b+C42a2b2+C43ab3+C44b4结果：04C14C24C34C44C3)．你能分析说明各项前的系数吗？知识，只有以我们自主探索的方式获得才显得更为珍贵。尝试猜想)()(*Nnban?()5ab=?......()nab=?请同学们猜一猜:猜想:(a+b)n展开式又是怎样的呢？nnnkknknnnnnnbCbaCbaCaCba110)()(*Nn初步归纳1()nnnnkknabaababb（）（）（）（）(a+b)n是n个(a+b)相乘,每个(a+b)在相乘时有两种选择选a或选b,而且每个(a+b)中的a或b都选定才能得到展开的一项。在合并同类项之前,由分步乘法计数原理,(a+b)n的展开式共有2n项,而且每一项都是的形式.证明:knC对于某个k(k∈{}),0,1,2,…,n对应的项an-kbk是由n-k个（a+b）中选a,k个（a+b）中选b得到的.由于b选定后,a的选法也随之确定,因此,an-kbk出现的次数相当于从n个(a+b)中取k个b的组合数,这样,(a+b)n的展开式中，个，共有knkknCba将它们合并同类项,就得到二项展开式:nnnkknknnnnnnbCbaCbaCaCba110)()(*Nnan-kbk(k=0，1，2，…，n)二项式二项展开式1k记作:1knkkknTCab二项式定理（binomialtheorem))(NnnnnkknknnnnnnbCbaCbaCaCba110)(这个公式叫做nab右边的多项式叫做二项式定理,左边的多项式叫做二项式,的二项展开式，其中各项的系数0,1,2knCkn称为二项式系数，式中的knkknCab展开式的第项,叫做二项展开式的通项，它是二项1.系数规律：nnnnnCCCC、、、、2102.指数规律：（1）各项的次数均为n；（2）a的次数按降幂排列，由n降到0，b的次数按升幂排列，由0升到n.3.项数规律：展开式共有n+1个项二项式二项展开式1k第项的二项式系数通项nnnkknknnnnnnbCbaCbaCaCba110在二项式定理中，令a=1，b=x，则有：n122rrnnnnnn(1+x)=1+Cx+Cx++Cx++Cx在上式中，令x=1，则有：n012rnnnnnn2=C+C+C++C++C例1:求的展开式5)21(X5432555445335225115005532808040101)2()2)2()2()2()2()21xxxxxxCxCxCxCxCxCx（解：（求展开式第三项以及其二项式系数，求x3项的系数5)21x（80-x80-)2(x1040)2(33335432522253项系数项二项式系数为xxCTCxxCT•引例：今天是星期三，若天后的这一天是星期几呢？1008rrCCC1001009911001000100100100777178）（010010019910077CC解:∴被7除的余数是1，因此天后的这一天是星期四.10081008练习一（课本P31）：3、选择题：的展开式的第6项的系数是.101x610AC610BC510CC510DCD1.写出的展开式.7pq2.求的展开式的第三项.623ab1.知识收获：二项式定理；二项式定理的表达式及展开式的通项、二项式系数与系数的概念。2.方法收获：正确区分“项的系数”和“二项式系数”二项式定理二项式二项式展开式011nnnknkknnnnnnabCaCabCabCb1k第项的二项式系数通项类比思想，从特殊——一般——特殊，归纳猜想的数学思想3.思维收获布置作业：习题1.3的第2、4（1）（2）37P