二项式定理

二项式定理(a+b)2(a+b)3那么将(a+b)4，(a+b)5...展开后，它们的各项是什么呢？＝C20a2+C21ab+C22b2=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3=a3+3a2b+3ab2+b3=a2+2ab+b2(a+b)2＝(a+b)(a+b)展开后其项的形式为：a2，ab，b2这三项的系数为各项在展开式中出现的次数.考虑b:每个都不取b的情况有C20种,则a2前的系数为C20恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21恰有2个取b的情况有C22种，则b2前的系数为C22(a+b)2=a2+2ab+b2＝C20a2+C21ab+C22b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3对(a+b)2展开式的分析(a+b)4＝(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)＝？1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？2)．各项前的系数代表着什么？a4a3ba2b2ab3b4各项前的系数代表着这些项在展开式中出现的次数问题每个都不取b的情况有1种,即C40,则a4前的系数为C40恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41恰有2个取b的情况有C42种，则a2b2前的系数为C42恰有3个取b的情况有C43种，则ab3前的系数为C43恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44则(a+b)4＝C40a4＋C41a3b＋C42a2b2＋C43ab3＋C44b43)．你能分析说明各项前的系数吗？a4a3ba2b2ab3b4二项展开式定理011C*nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabbnN每个都不取b的情况有1种,即Cn0,则an前的系数为Cn0恰有1个取b的情况有Cn1种，则an-1b前的系数为Cn1恰有2个取b的情况有Cn2种，则an-2b2前的系数为Cn2......恰有r个取b的情况有Cnr种，则an-rbr前的系数为Cnr......恰有n个取b的情况有Cnn种，则bn前的系数为Cnn右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式Cnran-rbr：二项展开式的通项，记作Tr+1Cnr：二项式系数①二项展开式共有n+1项②各项中a的指数从n起依次减小1，到0为此各项中b的指数从0起依次增加1，到n为此如(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+xn注二项展开式定理Cnran-rbr：二项展开式的通项，记作Tr+1Cnr：二项式系数011C*nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabbnN①二项展开式共有n+1项②各项中a的指数从n起依次减小1，到0为此各项中b的指数从0起依次增加1，到n为此如(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+xn求(1+2x)7的展开式的第4项注：1)注意对二项式定理的灵活应用2)注意区别二项式系数与项的系数的概念二项式系数：Cnr；项的系数：二项式系数与数字系数的积3)求二项式系数或项的系数的一种方法是将二项式展开第4项的二项式系数第4项的系数(1)求(1+2x)7的展开式的第4项的系数.1239的系数的展开式中求xxx解(1)(1+2x)7的展开式的第4项是T3+1=C7317-3(2x)3=35×23×x3=280x3.126的展开式求xx661212xxxx解63121xx分析:先化简再运用公式61524336663)(2)(2)(2)xCxCxCxx1=[(24256666(2)(2)]CxCxC32236012164192240160xxxxxx=的展开式的通项是912xxrrrrrrxCxxC2999911分析:先求出x3是展开式的哪一项,再求它的系数(1)求(1+2x)7的展开式的第4项.1239的系数的展开式中求xxx9-2r=3r=3x3系数是(-1)3C93=-84求（x+a)12的展开式中的倒数第4项解:91299399112220.TCxaxa(x+a)12的展开式有13项,倒数第4项是它的第10项1999219931()()()333rrrrrrrrrxTCCxx06.rr1由9-r-得26966791()322683TC解:练习的展开式常数项求933xx求的展开式的中间两项93()3xx解:展开式共有10项,中间两项是第5、6项。4944354193()()423xTTCxx35955265193()()423xTTCxx练习1）注意二项式定理中二项展开式的特征2）区别二项式系数，项的系数3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项小结