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第二十四章圆24.1圆的有关性质第2课时垂直于弦的直径1课堂讲解圆的对称性垂径定理垂径定理的推论2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升导入新知如图，1400多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)是37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(精确到0.1m)．1知识点圆的对称性问题（一）剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？知1－导问题（二）知1－导不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗？由此你得到了什么结论？你能证明你的结论吗？知1－导归纳通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.例1求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.知1－讲导引：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上.知1－讲（来自教材）证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C,D以外的任意一点.过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′.在△OAA′中，∵OA=OA′,∴△OAA′是等腰三角形.又AA′⊥CD，∴AM=MA′.即CD是AA′的垂直平分线.这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称.即圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.1下列说法中不正确的是()A．经过圆心的直线是圆的对称轴B．直径是圆的对称轴C．圆的对称轴有无数条D．当圆绕它的圆心旋转60°时，仍会与原来的圆重合知1－练2如图所示，在⊙O中，将△AOB绕圆心O顺时针旋转150°，得到△COD，指出图中相等的量．知1－练2知识点垂径定理知2－导知2－导下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？DOCAEBDOCAEB图1图2图3图4OAEBDOCAEB例2赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m,求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.知2－讲分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.知2－讲（来自教材）解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足，OC与AB相交于点C，连接OA，根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.由题设可知AB=37，CD=7.23，所以AD=AB=37=18.5，OD=OC-CD=R-7.23.在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+（R-7.23）2.解得R≈27.3.因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.⌒⌒⌒⌒1212总结知2－讲(1)“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可以是垂直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可．(2)垂径定理中的弦可以为直径．(3)垂径定理是证线段、弧相等的重要依据．1如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm.求⊙O的半径.知2－练（来自教材）2(广元)如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论中错误的是()A．CE＝DEB．AE＝OEC.BC＝BDD．△OCE≌△ODE知2－练⌒⌒知3－讲3知识点垂径定理的推论通过垂径定理的证明及应用，我们还可以进一步得到垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.例3如图所示，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AM＝BM，OM∶OC＝3∶5，求AB的长.知3－讲解：∵圆O的直径CD=10cm，∴圆O的半径为5cm，即OC=5cm，∵OM：OC=3：5，∴OM=OC=3cm，连接OA，∵AB⊥CD，∴M为AB的中点，即AM=BM=AB，在Rt△AOM中，OA=5cm，OM=3cm，根据勾股定理得：AM=则AB=2AM=8cm．3512224(cm).OAOM知3－讲关于垂径定理及其推论可归纳为：一条直线，它具备以下五个性质：(1)直线过圆心；(2)直线垂直于弦；(3)直线平分弦(不是直径)；(4)直线平分弦所对的优弧；(5)直线平分弦所对的劣弧．如果把其中的任意两条作为条件，其余三条作为结论，组成的命题都是真命题．1如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是________度．知3－练2已知：如图，⊙O中，AB为弦，C为弧AB的中点，OC交AB于D，AB=6cm，CD=1cm.求⊙O的半径OA.知3－练DOABC通过本课时的学习，需要我们：1.理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；2.掌握垂径定理的推论，明确理解“知二得三”的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.