22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(第三课时)

第二十二章二次函数22.1.3二次函数y=a（x-h)2+k的图象和性质(第三课时）y＝ax2a＞0a＜0图象开口对称轴顶点增减性二次函数y=ax2的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小y轴顶点坐标是原点（0，0）x=0时,y小=0x=0时,y大=0在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减一.复习引入xyxyy＝ax2+ka＞0a＜0图象开口对称轴顶点增减性二次函数y=ax2+k的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小y轴顶点坐标是原点（0，k）在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减x=0时,y小=kx=0时,y大=kxyxyy＝a(x-h)2a＞0a＜0图象开口对称性顶点增减性二次函数y＝a(x-h)2的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小直线x＝h顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减h＞0h＜0h＜0h＞0(h,0)向上向上向下向下a＞0a＜0直线x=0直线x=0直线x=0直线x=0y=ax2y=ax2+ka＞0a＜0函数a的符号开口方向对称轴顶点坐标（0，k）（0，k）（0，0）（0，0）最值y最大=0y最小=ky最小=0y最大=ky=a(x-h)2a＞0a＜0向上直线x=h（h，0）y最小=0向下直线x=h（h，0）y最大=0上加下减对称轴上下位置形状左加右减x轴左右二次函数y=ax2+k和y=a(x-h)2的图象与y=ax2的图象相同，只是不同，y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象沿平移得到,平移规律：___________;y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的图象沿________平移得到，平移规律是_________.知识汇总25.0xy15.02xy15.02xy开口向下开口向下开口向下直线x=0（0,0）（0,1）（0，-1）1.填表直线x=0直线x=0二次函数y=ax²+k对称轴为，顶点坐标为.k＞0时，y=ax²y=ax²+k；k0时，y=ax²y=ax²+k.y轴(0,k)向上平移k个单位向下平移|k|个单位抛物线顶点坐标开口方向对称轴22xy2)1(2xy2)1(2xy开口向上开口向上开口向上直线x=0直线x=1直线x=-1（0,0）（0,1）(-1,0)二次函数y=a(x-h)²对称轴为________,顶点坐标_____.直线x=h(h,0)h＞0时，y=ax²y=a(x-h)²；向右平移h个单位h＜0时,y=ax²y=a(x-h)².向左平移|h|个单位简记为“上加下减，左加右减”.2.填表抛物线顶点坐标开口方向对称轴例3.画出函数的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴.1)1(212xyx…-4-3-2-1012………解:先列表1)1(212xy再描点后连线.-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5例题12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10直线x=-11)1(212xy解:先列表再描点、连线抛物线的开口向下,1)1(212xy对称轴是直线x=－1,顶点是(－1,－1).（1）抛物线的开口方向、对称轴、顶点?1)1(212xyx…-4-3-2-1012………1)1(212xy-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5讨论2)1(21xy向左平移1个单位1)1(212xy221xy向下平移1个单位1212xy向左平移1个单位1)1(212xy221xy向下平移1个单位平移方法1:平移方法2:1)1(212xyx=－1（2）抛物线有什么关系?1)1(212xy221xy12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10（3）最小值不相同.相同点:（1）图像都是抛物线,形状相同,开口方向相同.（2）都是轴对称图形.（3）顶点都是最高点.（4）在对称轴左侧,都随x的增大而增大,在对称轴右侧,都随x的增大而减小（5）它们的增长速度相同.不同点:（1）对称轴不同.（2）顶点不同.顶点(0,0)顶点(2,0)直线x=2直线x=2向右平移2个单位向上平移1个单位顶点(2,1)对称轴:y轴即直线:x=0在同一坐标系中作出下列二次函数:观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向,对称轴及顶点.向右平移2个单位向右平移2个单位向上平移1个单位12345x12345678910yO-1-2-3-4-5y=（x-2）2+1y=（x-2）2y=x2y=x2y=（x-2）2+1y=（x-2）2一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.向左(右)平移|h|个单位向上(下)平移|k|个单位y=ax2y=a(x－h)2y=a(x－h)2+ky=ax2y=a(x－h)2+k向上(下)平移|k|个单位y=ax2+k向左(右)平移|h|个单位平移方法:归纳相同不同向上向下x=h（h，k）h、k归纳抛物线y=a（x-h)2+k有如下特点（1）当a＞0时，开口；当a＜0时，开口，（2）对称轴是；（3）顶点坐标是.一般地，抛物线y=a（x-h)2+k与y=ax2形状，位置，把抛物线y=ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y=a（x-h)2+k，平移的方向、距离要根据的值来决定.从二次函数y=a（x-h)2+k的图象可以看出，如果a＞0，当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小.y＝a(x-h)2+ka＞0a＜0图象开口对称轴顶点增减性开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小直线x=h顶点坐标是原点（h，k）x=h时,y小=kx=h时,y大=k在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减二次函数y＝a(x-h)2+k的性质y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移各种形式的二次函数的关系结论:一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同，位置不同.y=2(x+3)2+5对称轴y=-3x(x-1)2-2y=4(x-3)2+7y=-5(2-x)2-6向上(1,-2)向下向下(3,7)(2,-6)向上直线x=-3直线x=1直线x=3直线x=2(-3,5)二次函数开口方向对称轴顶点坐标例4.要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？解：如图建立直角坐标系，点（1，3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数是y=a(x－1)2＋3(0≤x≤3).由这段抛物线经过点（3，0）可得0＝a(3－1)2＋3.解得当x=0时，y=2.25，也就是说，水管应长2.25m.121233B(1，3)C(3,0)AO∴y=-(x－1)2＋3(0≤x≤3).a=-课后练习开口向上对称轴是x=-3顶点是（-3，5）开口向下对称轴是x=1顶点是（1，-2）开口向上对称轴是x=3顶点是（3，7）开口向下对称轴是x=-2顶点是（-2，-6）（1）y=2(x+3)2+5（2）y=-3(x-1)2-2（3）y=4(x-3)2+7（4）y=-5(x+2)2-6指出下列各抛物线的开口方向，对称轴方程，顶点坐标将二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)配方为y＝a(x-h)2+k的形式.拓展二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)另所以，有y=a(x－h)2+k配方因此，任何一个二次函数都可以通过将y=ax2进行平移得到当h0向左平移h个单位，当h0向右平移|h|个单位，当k0时，向上移k个单位，当k0时，向下移k个单位，就可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图像．例如:y=2x2－8x＋12,通过配方得y=2(x－2)2＋4就可以通过平移y=2x2得到，如演示所示abacabxay44222h=-k=-－222464－48O1.某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出约100件，该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件.（1）请表示出商品降价x元与利润y元之间的关系？（2）将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？最大利润是多少？练一练2.指出下面函数的开口方向，对称轴，顶点坐标，最值.（1）y=2(x+3)2+5（2）y=4(x-3)2+7（3）y=-3(x-1)2-2（4）y=-5(x+2)2-6C3.对称轴是直线x=-2的抛物线是()Ay=-2x2-2By=2x2-2Cy=-(x+2)2-2Dy=-5(x-2)2-64.抛物线的顶点为(3,5)此抛物线的解析式可设为()A.y=a(x+3)2+5B.y=a(x-3)2+5C.y=a(x-3)2-5D.y=a(x+3)2-5By=-2(x-1)2-35.抛物线c1的解析式为y=2(x-1)2+3抛物线c2与抛物线c1关于x轴对称,请直接写出抛物线c2的解析式.D6.二次函数y=a(x-m)2+2m,无论m为何实数,图象的顶点必在()上A.直线y=-2x上B.x轴上C.y轴上D.直线y=2x上y3＞y1＞y27.对于抛物线y=a(x-3)2+b其中a＞0,b为常数,点(,y1)点(,y2)点(8,y3)在该抛物线上，则y1,y2,y3的大小关系.7.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x-6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）;（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由;（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．解：（1）∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，∴抛物线y=a（x-6）2+h过点（0，2），∴2=a（0-6）2+2.6，解得：a=-，故y与x的关系式为：y=-（x-6）2+2.6，（2）当x=9时，y=-（x-6）2+2.6=2.45＞2.43，所以球能过球网；当y=0时，-（x-6）2+2.6=0，解得：x1=6+＞18，x2=6-（舍去）故会出界；（3）把x=0,y=2,代入到y=a(x-6)2+h得；当x=9时,y=a(9－6)2+h＞2.43当x=18时,y=a(18－6)2+h≤036a=2-h9a+h＞2.432-h+4h＞9.72解得h＞144a+h≤08-4h+h≤0解得h≥此时球要过网h＞，故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h≥