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工程力学（上）直播课堂6姚志刚第六章静定结构的内力计算一、本章主要知识点1．截面内力及符号2．内力图3．荷载和剪力、弯矩的对应图形关系4．叠加法作弯矩图、剪力图5．分段叠加法作弯矩图6．静定梁作内力图7．刚架作内力图8．三铰拱的计算9．桁架的计算二、本篇讲授的内容（一）截面内力及符号物体因受外力作用，在物体各部分之间所产生的相互作用力称为物体的内力。对内力的正、负号作如下规定：轴力符号：当截面上的轴力使分离体受拉时为正；反之为负。剪力符号：当截面上的剪力使分离体作顺时针方向转动时为正；反之为负。弯矩符号：当截面上的弯矩使分离体上部受压、下部受拉时为正，反之为负。当所有外力（包括已知荷点，通过平衡方程求出的所有支座约束反力）已知时，通过三个独立的平衡方程可求解三个内力。截面法是结构力学计算最基本的方法。+－＋－＋－教材例6－3（P73）一外伸梁如图所示。。求截面1－1及截面2－2的剪力和弯矩。mNqNP/4,10222PqAB121解：1．求梁的支座反力。由整体平衡可求：2．求1－1截面上的内力杆上外力均为已知，可求任意截面的内力。如截面1－1，取左段为分离体，如图所示。NYNYXBAA15,3,0YAQ1PM12m1m由由由求截面1－1内力也可取左段为分离体，其结果见教材。3．求2－2截面上的内力。（见教材）0,01NX)(71524,01NQY01M)(12241151mNM4Q2M21（二）内力图内力图为表示内力随横截面的位置变化的函数的图形。一般取杆轴线为坐标轴，横截的位置选择用X表示，则梁的各个横截面上的内力可以表示为X的函数，函数图形即内力图。教材例6－7（P76）简支梁AB受一集度为q的均布荷载作用，试作此梁的剪力图和弯矩图。分析：取左边X长的分离体，X处截面的内力按正方向假设，用平衡方程求解。qLMQ++-qL2/8qL/2qL/2qL/2qL/2解：（1）求梁的支座反力由整体平衡可求：（2）取距A端X处的C截面，标出。解得：CACACAQNM,,222)(qxxqlMx0)(xNqxqlQx2)(CQ(x)M(x)xAM图为二次抛物线，确定X＝0，L/2及L处M值可确定M的函数图形。Q图为直线形，确定X＝0，L处Q值即可确定Q图。MQ++-qL2/8qL/2qL/2根据内力图的特征，除均布荷载q作用下的M点为二次抛物线外，其余情况均为直线段。因此，可以不需列出函数方程，直接确定直线段内力图的控制点值，即荷点作用不连续点的截面内力连接直线即可。均布荷点作用段内M图再确定一中间值即可画出二次抛物线。按建筑力学的习惯，M图画在杆件弯曲变形时受拉一侧。画出M图。弯矩最大值在梁的中点，为ql2/8；画出Q图。剪力最大值在梁端，为ql/2。（三）荷载与剪力、弯矩的对应图形关系纯弯曲：剪力图为零，弯矩图为一水平直线。q＝0：剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。几种常见简支梁M、Q图的记忆PL/2L/2MQ++-PL/4P/2P/2qLMQ++-qL2/8qL/2qL/2q＝常数:剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。集中力：剪力图为一水平直线，P作用处有突变，突变值等于P。弯矩图为一折线，P作用处有转折。几种常见简支梁M、Q图的记忆PabLPab/4MQPb/LPa/L++-mL/2L/2MQ+-+M/2M/2m/L集中力偶：剪力图为一水平直线，力偶作用处无变化。弯矩图为水平线，力偶作用处有突变，突变值等于集中力偶。教材例6－10（P81反）外伸梁如图所示，已知，试画出该梁的内力图。222PqAB121CDkNpmkNq15,/5kNYkNYDB5,20分析：例中，整体平衡可求解，则A、B、C、D为外力不连续点，――作为控制截面。在集中力P，或支座反力处剪力有突变，所以控制截面截取应B左、B右、C左、C右，D右支座反力即作用于CD杆端的剪力。)0(,DDBXYYQ图由控制点A、B左、B右、C左、C右的值之间连直线得到。解：（1）求梁的支座反力kNYkNYDB5,20（2）画弯矩图：求控制截面的弯矩值，取AB杆的分离体。杆上侧受拉。取CD杆的分离体：（铰支端）杆下侧受拉。)(102202mkNqMMBAAB0DCM)(1025mkNMCD确定A、B、C、D四点M值：BC，CD间无均布荷载q，直接联直线；AB间有均布荷载q,确定中点值为2.5KN/m,可由三点确定抛物线。（2）画弯矩图：连接控制截面的弯矩值，如图:M图AB段的端点值即MA、MB的中间值由确定，作抛物线。M图BD段的端点值即MB、MD的中间值由确定，用直线连接。如在的连线上叠加的二次抛物线，或在的连线上叠加的三角形的底边，简单拼合，显然不能对齐。28q2BAMML＋42PLMMDB轴力为零不考虑。杆端作用剪力、弯矩与相应简支梁两端作用弯矩受力情况完全相同，即对应。所以任意分段均可同叠加法作M图。M图10kNm10kNmABCD（3）画剪力图：取控制截面如图。计算剪力：取分离体如图。AB：QAB=0（自由端）CD：BC：QBCQCB＝5-P=-10102qQBA55DCCDDCQQQ10220q剪力图如图所示。在已荷点和所有反应力的情况下，可以取分段分离体求剪力控制截面值，但如果M图已知，不求约束反力也可确定分段杆端的剪力控制截面值。10kN10kN5kN-++ABCD几种常见简支梁M、Q图的记忆PL/2L/2MQ++-PL/4P/2P/2qLMQ++-qL2/8qL/2qL/2几种常见简支梁M、Q图的记忆PabLPab/4MQPb/LPa/L++-mL/2L/2MQ+-+M/2M/2m/L（四）叠加法作弯矩图与剪力图当梁上有几项荷载作用时，梁的反力和内力可以这样计算：先分别计算出每项荷载单独作用时的反力和内力，然后把这些计算结果代数相加，即得到几项荷载共同作用时的反力和内力。2q81LPqL+P+qLMQ++PqPqLPL1/2qL2PL+1/2qL2上图悬臂梁上作用有均布荷载和集中力。梁的反力和内力都是由两部分组成。各式中第一项与集中力P有关，是由集中力P单独作用在梁上所引起的反力和内力；各式中第二项与均布荷载q有关，是由均布荷载q单独作用在梁上所引起的反力和内力。两种情况的叠加，即为二项荷载共同作用的结果。这种方法即为叠加法。剪力图：集中力P单独作用时为一水平直线，均布荷载q单独作用时为一斜线；两种情况叠加后即为共同作用的结果，如上图。弯矩图：集中力P单独作用时为一斜线，均布荷载q单独作用时为抛物线；两种情况叠加后即为共同作用的结果，如上图。分段叠加法作弯矩图直杆弯矩图――分段叠加，简化绘图工作，适用于多跨梁、刚架的弯矩图的绘制。教材例6－10（P81反）外伸梁如图所示，已知，试用叠加法画出该梁的M图。222PqAB121CDkNpmkNq15,/5kNYkNYDB5,20M图10kNm10kNmmk1541525.041NPL10kN10kN5kN-++几个标准弯矩图简支梁作用有均布荷载q简支梁作用有中点的P悬臂梁作用有均布荷载q悬臂梁作用有端点的P简支梁作用有非中点的P简支梁作用有中点的m简支梁作用有均布荷载qP/2qLMQ++-qL2/8qL/2qL/2（1）简支梁作用有均布荷载q简支梁作用有均布荷载q的弯矩图为一抛物线，其中点弯矩为。（2）简支梁作用有中点的P简支梁作用有中点的P的弯矩图为一折线，在集中力P作处产生折点，其值为。PL/2L/2MQ++-PL/4P/2简支梁作用有中点的P简支梁作用有中点的mmL/2L/2MQ+-+M/2M/2m/L简支梁作用有非中点的PPabLPab/4MQPb/LPa/L++-MQ+PPPL+qqL1/2qL2悬臂梁作用有均布荷载q悬臂梁作用有端点的P（5）悬臂梁作用有均布荷载q悬臂梁作用有均布荷载q的弯矩图为一抛物线，其值端点为零、固定端为。（6）悬臂梁作用有端点的P悬臂梁作用有端点的P的弯矩图为一斜线，其值端点为零、固定端为PL。（五）分段叠加法作弯矩图简支梁上作用有均布荷载q，其两端作用有弯矩，用叠加法作弯矩图。BAMM,MAMAMBMBqqLL+2q81LMAMB原结构作用有两种荷载弯矩和均布荷载。将原结构分解为由弯矩与均布荷载分别作用的两种情况，如图所示。AMBM82ql+282BAMMqlAMBMMAMAMBMBqqLL+2q81LMAMB中点M=2q812LMMBA2q81LMAMB即：+分段叠加法作弯矩图:杆端弯矩图叠加上简支梁上对应荷载（均布荷载q或中点集中力P）的标准弯矩图；叠加：是指弯矩图纵坐标的代数和，而不是弯矩图的简单拼合。分段叠加法作弯矩图的方法如下：分段叠加法作弯矩图的方法：（1）求控制截面的弯矩值（全部荷载作用）控制截面――一般取外力不连续点（如：均布荷载q的端点、P作用点和集中力偶M作图点的左、右）。（2）分段画弯矩图控制截面内无荷载――连直线；控制截面内有荷载（q或中点P）――连虚线，再叠加相应的弯矩图。剪力图可以由弯矩图取得：任取杆段AB，荷载及杆端弯矩已知，如图所示。则：，，或由，分别为荷载对杆端A，B之矩的代数和。0BM)(10BBAABmMMlQ0AM0(1ABABAmMMlQ00,BAMMMAMBQABQBAP例6－10外伸梁如图所示，已知，试画出该梁的内力图。本例同例6-10反向222PqAB121CD解：（1）求控制截面的弯矩值（全部荷载作用）；本题的控制截面为A、B、D截面。A端为自由端，D端为铰支端，AB为悬臂梁，其控制截面弯矩如图，分段画弯矩图：M图10kNm10kNm1022002qMMMBDA按取得A、B、D截面的弯矩值并连以虚线。在AB段的虚线上叠加均布荷载q的弯矩，如图所示。在BD段的虚线上叠加集中力P的弯矩，其值为：0,10,0DBAMMM1042PlMMMDBC（2）由弯矩图画剪力图AB段：分离体如图所示：00AABMQ10BAQ可得：101000BAAABQMQBAQACD段：分离体如图所示：BC段：分离体如图所示：10)1010(21CBBCQQ5)10(21DCCDQQ10)1010(21CBBCQQCQBCQCB剪力图：用A、B、C、D截面的剪力值取点并连以直线，得到本题的剪力图，如图所示。10kN10kN5kN-++ABCD工程力学（上）直播课堂7姚志刚（六）静定梁作内力图多跨静定梁――按几何组成的相反次序求解，可避免解联立方程。多跨静定梁组成：基本部分――能独立承受荷载的部分附属部分――依赖于基本部分承受荷载的部分教材[例6－12]（P82）多跨静定梁如教材图所示。已知。试画出该多跨梁的内力图。（1）求支座反力，kNPmkNq10,/5kNYkNYkNYkNYFDBA5,1075.3,25.11ABCEFDq＝5P＝104m122115412211qP11P=102255510541q=5511.253.75（2）作弯矩图：用叠加法求出控制截面的弯矩（A点、C点、E点、F点弯矩为零），连以直线；在AB段、EF段弯矩的直线上分别叠加均布荷载与集中荷载的弯矩，如教材P83（b）图所示即为结果。（3）作剪力图分别求出控制截面A、B左、B右、D左、D右、集中荷载左右及F的剪力；连以直线，结果如教材P83图（c）所示。利用形状特征直接画弯矩图：即利用四个标准弯矩图画多跨静定梁的弯矩图，如图所示*利用形状特征直接画M、Q图ABCEFDq＝510P＝104m1221112.655511.2553.7510++--11.258.75555M(k