中央电视台的开心辞典栏目

中央电视台的《开心辞典》栏目，有一次的最后一题是：“给出一组数1，3，6，10，15…，则第7个数是什么？”你认为第7个数是.那么，这组数之间的规律是——。28an=n(n+1)2a2-a1=2a3-a2=3a4-a3=4an-an-1=n…an=1+2+3+…+n宣城中学陈光明学习目标:等差、等比数列的前n项和公式和其它几种常见方法:倒序相加法、错位相减法、裂项法、分组法.要深刻理解这些求和方法和含义,熟练掌握它们适用的数列类型以及在求和中应注意的问题.重点:难点:等差、等比数列求和公式非等差、等比数列的求和2：等比数列前n项和公式:Sn=n(a1+an)2=na1+dn(n-1)2a1(1-qn)1-qn(n+1)(2n+1)61：等差数列前n项和公式：Sn=a1-anq1-q=(q≠1)(q=1)na13:12+22+32+…+n2=13+23+33+…+n3=n(n+1)2[]2求数列的前n项和，通常要掌握以下解法：1直接法2公式法3倒序相加法4错位相减法5分组转化法6裂项相消法求数列{nc100n}的前99项的和.S99=c1001+2c1002+…+98c10098+99c10099S99=99c10099+98c10098+…+2c1002+c10012S99=100c1001+100c1002+…+100c10099=100(c1001+c1002+c1003+…+c10099)=100(2100-2)∴S99=50(2100-2)即时小结：如果一个数列满足：与首尾两项等距的两项之和等于首尾两项之和，则可以把sn顺着写，再把sn到着写，在把两个sn相加。（联系：等差数列的前n项和推导过程以及高斯小时候巧解算术题）。二、错位相减法解：记sn=a+2a2+3a3+…+(n-1)an-1+nan则asn=a2+2a3+…+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1两式相减，得（1-a)sn=(a+a2+a3+…+an)-nan+1若a=1,则sn=1+2+…+n=2)1(nn若a≠1,则sn=anaaaann1)1()1(12注意：在求等比数列前n项和sn时，若公比q是字母，为避免疏忽，宜先求q=1时的sn,然后再求q≠1时的sn例2：求和a+2a2+3a3+…+nan*(,0)nNa项和是？的前练习：数列nnn,...2,...83,42,21即时小结;如果一个数列的各项是由一个等比数列和一个等差数列的各项的乘积得到的，则我们可用该方法。,+n1例3.求数列+23,+的前n和。,222,32n2+123n解：=(1+2+3+…+n)Sn=(1+2)+(2+)+(3+)+…+(ｎ+)2232ｎ2+(2+2+2+…+2)n23=n(n+1)22(2-1)2-1n+=n(n+1)2+2-2n+1…三、分解重组求和法这里千万不能把每一项的结果算出来，否则就找不到规律了把数列的每一项分成几项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成几部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法.即时小结：求和：+++…+11·21n·(n+1)13·412·31n·(n+1)an==-1n1n+1Sn=+++…+11·21n·(n+1)13·412·3+(-)1n1n+1=(1-)+(-)+(-)+…12121313141n+1=1-=nn+1四.拆项相消法（或裂项法）：它的拆项方法你掌握了吗？即时小结：裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。【推广】对类似数列(3)的求和问题，我们可以推广到一般情况：设{an}是公差为d的等差数列，则有11nn；【推广】对类似数列(3)的求和问题，我们可以推广到一般情况：设{an}是公差为d的等差数列，则有1()nnk；【推广】对类似数列(3)的求和问题，我们可以推广到一般情况：设{an}是公差为d的等差数列，则有1nkn；【推广】对类似数列(3)的求和问题，我们可以推广到一般情况：设{an}是公差为d的等差数列，则有12121nn【推广】对类似数列(3)的求和问题，我们可以推广到一般情况：设{an}是公差为d的等差数列，则有112nnn【推广】对类似数列(3)的求和问题，我们可以推广到一般情况：设{an}是公差为d的等差数列，则有1111212122121nnnn1111()()11()nnkknnknknknkn11111nnnn-；2111121211nnnnnnn练习1:求数列{(2n+1)·2n-1}的前n项和.即时Sn=3•20+5•21+7•22+9•23+…+(2n+1)•2n-12Sn=3•21+5•22+7•23+9•24+…+(2n+1)•2n(1)(2)(1)-(2)得：-Sn=3+22+23+24+…+2n-(2n+1)•2n()=3+22(2n-1-1)-(2n+1)•2n=-1+(1-2n)•2nSn=1+(2n-1)•2n即时2、求：1、1+2、1+2+22、1+2+22+23…的前n项和.an=1+2+22+…+2n-1=1-21-2n=2n-1Sn=1+(1+2)+(1+2+22)+(1+2+22+23)+…+(1+2+22+…+2n-1)=(2-1)+(22-1)+(23-1)+(24-1)+…+(2n-1)=(2+22+23+…+2n)-n=2n+1-n-23、求和：+++…+12·411·313·51n·(n+2)4、求和:1+++…+11+211+2+311+2+..+n2nn+121(1+--)211n+21n+1一般数列求和方法总结:1、直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意等比时q=1,q≠1的讨论.2、倒序相加法3、错位相减法4、裂项相消法5、分组转化法走向高考P103,5.10;P109,10