工程结构抗震设计第三章

工程结构抗震设计第三章结构地震反应分析与抗震验算第一节概述一、地震反应地震在结构中引起的振动，包括内力、变形和位移。二、影响地震反应的因素1．地震地面运动特性地震地面运动的三要素：（1）地震动强度：地面运动加速度峰值大小（2）地震动频谱特征：地震波主要周期（3）地震动持续时间：2．建筑结构动力特性（1）自振周期：质量、刚度（2）阻尼：三、地震反应的计算方法1．拟静力法，或称等效荷载法1）振型分解反应谱法2）底部剪力法2．直接动力法，又称时程分析法第二节单自由度弹性体系的地震反应分析一、单自由度体系1．单质点体系动力分析时将结构全部质量集中于一点，用无重量弹性杆支承的体系。（a）单层房屋及其简化体系（b）水塔及其简化体系单质点体系2．单自由度体系单质点体系只作单向振动时，就形成一个单自由度体系。二、运动方程地基水平运动时单质点弹性体系运动方程的推导。x(t)（a）地面位移引起的运动（b）DISmxg(t)txmg取质点m作为隔离体惯性力：阻尼力：弹性恢复力：][txtxmIgtxkStxcD根据达朗伯尔原理，则0)()()]()([txktxctxtxmg)()()()(txmtkxtxctxmg或上式就是地震作用下质点的运动微分方程。式中简化常系数二阶非齐次微分方程，全解=齐次解+特解。)()()(2)(2txtxtxtxgmkkmcmc22三、自由振动1．自由振动方程对一般结构，阻尼较小（即1），通解：A、B——待定常数，由运动初始状态确定。若t=0时，体系初始位移为x(0)，初始速度为0)()(2)(2txtxtx21式中)0(x)0(xA)0()0(xxB)sincos()(tBtAetxt单自由度体系自由振动位移txxtxetxtsin00cos0当无阻尼，即=0，代入上式得无阻尼自由振动位移txtxtxsin0cos0xtx0=00.050.2t单自由度体系自由振动曲线a.无阻尼振幅始终不变b.有阻尼振动逐渐衰减越大振幅衰减越快2．自振周期与自振频率（1）无阻尼周期kmT22频率f=1T圆频率=2T=2f（2）有阻尼周期T=2圆频率21比较，TT（3）阻尼比临界阻尼比：=1时，=0，结构不发生振动临界阻尼系数：kmmccr22阻尼比：结构的阻尼系数与其临界阻尼系数之比=c/2m=c/cr（4）在实际结构中，=0.01~0.1，可近似取=即忽略阻尼的影响。自振周期kmT2自振周期与结构自身的质量和刚度有关：m↗，T↗；k↗，T↘。四、强迫振动1．瞬时冲量及其引起的自由振动瞬时冲量：质点上荷载P作用时间dtPtPdttxtt（a）瞬时冲量及其引起的自由振动tdxttt-（b）地震作用下的质点位移分析txg由动量定理：冲量等于动量的增量Pdt=mvmv0若假设体系初始处于静止状态，v0=0，则v=Pdt/m当x0=0和mPdtx/0tmPdtetxtsin)(2．杜哈默积分瞬时冲量：dxgdtxetdxgt)(sin)()()(Pdt，m=1，tt-dxgtdxttt-地震作用下的质点位移分析txg上式就是非齐次微分方程的特解称为杜哈默（Duhamel）积分。五、基本运动方程的全解ttgtdtextdxtx0)(0)(sin)(1)(ttgtdtextxxtxetx0)()(sin)(1sin00cos0)(第三节单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱一、水平地震作用的基本公式质点上的惯性力txctkxtxtxmtIg))()(()(阻尼力相对于弹性恢复力是可忽略的微量，则I(t)=kx(t)或x(t)=I(t)/k=I(t)式中为杆件的柔度。惯性力可理解为一种反应地震影响的等效荷载。将动力问题转变为静力问题。质点绝对加速度将地震反应xt的表达式代入质点最大绝对加速度水平地震作用的绝对最大值为F=mSatxtxmktxtxtag2dtextattgsin0max20max2sin2dtTexTtaStTtga二、地震反应谱地震反应谱：单自由度弹性体系地震反应与其自振周期的关系曲线。Sa与T的关系曲线称加速度反应谱。计算流程：1．给定，0，Ti2．计算at3．确定Sa=atmax4．绘制坐标点SaTn，0，Ti5．设定新的Ti值，重复步骤2~4。gx加速度反应谱计算示意图由上图可见(1)谱值随阻尼比增加减小(2)谱值随周期增加先急剧增加，后逐渐减小ElCentro地震Sa反应谱曲线012301234T(s)Sa(g)=00.050.10三、地震系数与动力系数1．地震系数kk仅与烈度有关。烈度每增加一度，k值增加一倍。GktxSgtxmgmSFgagamaxmaxgtxkgmax)(2．动力系数是质点最大反应加速度比地面最大加速度放大的倍数。把Sa代入上式与T之间的曲线为谱曲线。max)(txSgamax0)(2max|)(2sin)(|)(12ttTggdtTextxT3．标准反应谱定义：对大量地震反应谱曲线进行分析、统计求出的具有代表性的平均反应谱曲线，来作为设计的依据。形状：取决于场地条件、震级、震中距等。一般，场地越软，震中距越远，曲线的峰值越向右移，即偏于长周期。软土硬土岩石M-里氏震级R-震中距（a）场地条件的影响（b）震中距的影响各种因素对反应谱的影响32101234T(s)24Sa(m/s2)01234T(s)M=7.75R=80kmM=6.75R=30kmM=5.75R=16km场地的特征周期Tg：对应于反应谱曲线峰值的周期地面振动的卓越周期：即自振周期，与Tg相符当结构的自振周期与场地的卓越周期相等或接近时，产生类共振现象。2.0T(s)1.51.00.5Tg1.02.03.04.0反应谱曲线四、设计反应谱1．《抗震规范》采用Sa/g与体系自振周期T之间的关系作为设计反应谱。地震影响系数=Sa/g=k地震作用F=mSa=mg=G实质上是作用在单质点弹性体系上的地震作用与结构重力量之比。2．《抗震规范》给出的设计反应谱，由四部分组成（1）0T0.1s，上升直线段：=[0.45+(1024.5)T]max（2）0.1sTTg，水平直线段：=2max（3）TgT5Tg，下降曲线段：地震影响系数谱曲线T(s)6.0Tg0.100.45max2max5Tgmax1252.0gTTmax2TTgmax2TTgmax1252.0gTT（4）5TgT6.0s，下降直线段：当T6.0s时，设计反应谱须另行专门研究决定。曲线下降段的衰减指数直线下降段的下降斜率调整系数1阻尼调整系数263.005.09.0)324(05.002.016.108.005.012注意：10时，取0；20.55时，取0.55。《规范》规定，水平地震影响系数max如下表3．抗震设计应用（1）计算结构自振周期T（2）根据场地类别与设计地震分组确定特征周期Tg（3）由烈度确定水平地震影响系数（4）计算地震作用F=G注：括号中数值分别用于设计基本地震加速度取0.15g和0.30g的地区。设防烈度地震影响6度7度8度9度多遇地震0.040.08（0.12）0.16（0.24）0.32罕遇地震0.280.50（0.72）0.90（1.20）1.40练习1．一单自由度体系，层间刚度k=8106kN/m，质点质量m=3200t，体系阻尼比=0.05，建筑场地为II类，设计地震分组第一组，设防烈度8度，设计基本地震加速度为0.2g，求多遇地震作用。2．其他条件同第1题，层间刚度改为k=8104kN/m，求多遇地震作用。3．其他条件同第2题，设计地震分组改为第二组，求多遇地震作用。作业题3.1某单自由度体系如图所示，集中于屋盖的重力荷载代表值为G=2800kN，柱抗侧刚度系数k=4.0104kN/m，结构阻尼比=0.03，II类建筑场地，设计地震分组为第一组，设防烈度7度，设计基本地震加速度为0.15g。求厂房在多遇地震时水平地震作用。Gk第四节多自由度弹性体系的地震反应一、多自由度体系（a）（b）多质点体系mnmikiknm2m1k1k2二、多自由度体系的运动方程先讨论两个自由度的体系。取质点m1为隔离体惯性力弹性恢复力S1=(k11x1+k12x2)阻尼力（a）（b）二自由度体系D1S1I1（c）m2m1m1m2x2(t)x1(t)m2m1xg(t)m1k2k1)(111gxxmI)(2121111xcxcD由达朗贝尔原理，可得质点运动方程gxmxkxkxcxcxm121211121211111gxmxkxkxcxcxm222212122212122写成矩阵形式gxImxkxcxm2100mmm22211211ccccc22211211kkkkk21xxx21xxx21xxx方程组为二阶线性常系数微分方程组。11I推广到n自由度体系nmmmm0021nnnnnncccccccccc212222111211nnnnnnkkkkkkkkkk212222111211nxxxx21nxxxx21nxxxx21111I三、多自由度体系的自由振动1．自振圆频率忽略阻尼影响021211111xkxkxm022212122xkxkxm解得)sin(11tXx)sin(22tXx代回原方程0)(21212111XkXmk0)(22222121XmkXk——称为频率方程0222221122111mkkkmk2121122211222211122211122121mmkkkkmkmkmkmk1：称为第一自振圆频率或基本自振圆频率，简称第一频率或基本频率；2：称为第二自振圆频率，或简称为第二频率。对n个自由度的体系，自由振动运动方程组0xkxm解为{X}={X1X2…Xn}T，Xi为质点i的位移幅值关于质点位移幅值的线性代数方程组频率方程为可求得体系的n个自振圆频率，简称自振频率。12…n，1称为第一频率或基本频率。)sin(t