折纸与圆锥曲线包络线及其多媒体实现

1折纸与圆锥曲线包络线及其多媒体实现广东梅县东山中学廖乐扬本文主要针对教材（新课标数学（苏教版）高二选修1-1，2005版；以下教材指的皆为该版本）的圆锥曲线部分的探究拓展题中，利用折纸来得到圆锥曲线包络线问题，虽然可以直观看到折出来的轮廓是椭圆，双曲线，抛物线，但是却没有系统地给出解答与证明，同时折纸也不便于在课堂上进行，所以本文针对该问题进行系统具体的解答及利用数学软件《几何画板》进行计算机模拟折纸过程进行教学的多媒体实现，昀后给出了包络线的一些扩展，同时给出了该知识的应用，包括高考及高中数学联赛中出现的一些考察该知识的题型.一．折纸问题问题1.教材P27第6题：（操作题）准备一张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心的一点F，将纸片折起，使圆周过点F，然后将纸片展开，就得到一条折痕l，这样继续下去，得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓，它们形成什么曲线？问题2.教材P37第7题：（操作题）在纸上画一个圆，在圆外任取一定点F，将纸片折起，使圆周通过F，然后展开纸片，得到一条折痕l，这样继续下去，得到若干折痕.观察这些折痕围成的轮廓，它们形成什么曲线？问题3.教材P41第9题：（操作题）将一张长方形纸片ABCD的一个角斜折，使D点总是落在对边AB上，然后展开纸片，得到一条折痕l，这样继续下去，得到若干折痕.观察这些折痕围成的轮廓，它们形成什么曲线？二．多媒体实现（利用数学软件几何画板进行模拟折纸过程）因为题目为操作题，学生自己动手虽然也可以发现结果，但对于老师要在课堂上讲课操作上还是不够便捷的，所以现在采用计算机模拟折纸过程，可以达到更便捷、更直观的目的，而且能培养学生对数学兴趣.1．针对问题1分析：因为圆周过点F，必然可以在圆周上找到与F关于折痕l对称的点E，在用《几何画板》模拟时，折痕可以看作是线段EF的垂直平分线l，只要用计算机跟踪这条垂直平分线就可以观察出折痕所围成的图形.具体操作步骤如下：1、画圆A，其中B为圆上一任一点；2、画线段EF，其中E在圆上，F为圆内任一点3、画线段EF的中垂线（使得EF与其中垂线交点为M），方法为用鼠标选中EF，然后点【构造】菜单→中点，选中中点和线段EF然后点【构造】菜单→垂线.4、跟踪中垂线选中中垂线→【显示】菜单→追踪垂线5、作E点的动画，制作按钮“运动点”6、单击按钮“运动点”，EF的中垂线开始扫描.2得到效果如图1、图2：图1图2观察可以得到结论：折痕围成的轮廓是一个椭圆.2．针对问题2分析：采取和问题1一样的处理方法.具体操作步骤：只要把处理问题1时的第2步改为“画线段EF，其中E在圆上，F为圆外任一点”，其它步骤不变.可以得到效果如图3、图4：图3图4观察可以得到结论：折痕围成的轮廓是双曲线的一部分.3．针对问题3分析：D点总落在对边AB上，那么一定可以在AB上找到D关于折痕的对称点P，在用《几何画板》模拟时，折痕可以看作是线段DP的垂直平分线l，只要用计算机跟踪这条垂直平分线就可以观察出折痕所围成的图形.具体操作步骤如下：31、画长方形ABCD；2、画线段DP，其中P在长方形边AB上；3、画线段DP的中垂线（使得DP与其中垂线交点为M）4、跟踪中垂线选中中垂线→【显示】菜单→追踪垂线5、作P点的动画，制作按钮“运动点”6、单击按钮“运动点”，DP的中垂线开始扫描.可以得到效果如图5、图6：图5图6观察可以得到结论：折痕围成的轮廓是抛物线的一部分.三．数学证明及其应用以上只是观察得到的结果，结果的正确性还要经过数学证明，下面给出以上3个问题结论的证明,然后联系高考及高中数学联赛中相关的考题并给出可能出现的题目变形.1.问题1通过计算机实现可以看出模拟结果是个椭圆，但这个椭圆到底是哪个点运动得到的轨迹？为什么是椭圆呢？以下给出证明.从观察图形可以猜测圆心A与圆内所取任一点F为椭圆的焦点.那折叠出的椭圆是哪个点的轨迹?如图7，可以连结EA交折痕l于Q点，在几何画板中拖动点E在圆上运动，利用软件中的跟踪点功能,发现Q点运动形成了椭圆.图74以下根据中垂线性质和椭圆的定义给出证明：证明：如图7，连结EA交EF的中垂线于Q，再连结QF，设圆半径为r（定值）QMEFQFQEEAQAQErQAQFrAFQ∴=+=∴+=QQ为的中垂线又为圆半径则根据椭圆的定义可以知道点运动轨迹为椭圆.该椭圆即为折纸所得轮廓,它以已知圆的圆心A和圆内任取一点F为焦点,圆半径r为长轴长.近年高考也出现了有关该知识的考题：例1：(2005高考数学重庆卷文第16题)已知1,02A⎛⎞−⎜⎟⎝⎠，B是圆F：22142xy⎛⎞−+=⎜⎟⎝⎠(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为_____________.分析：根据对问题1的证明，可以知道P点的轨迹为椭圆，该椭圆焦点为圆心1,02F⎛⎞⎜⎟⎝⎠与圆内一点1,02A⎛⎞−⎜⎟⎝⎠，长轴长为圆半径2，因为焦点是在x轴上，中心在原点，马上可以得到所求轨迹方程为：2222411.3134xyxy+=+=即例2：（2003年全国高中数学联赛第15题）：一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且aOA=，折叠纸片，使圆周上某一点A′刚好与A点重合.这样的每一种折法，都留下一条直线折痕.当A′取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上的点的集合.分析：这道题联赛组给的参考答案中的方法较为繁琐，下面根据以上证明则可简捷地得到结果，如图8，以O为原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系，连结AO′交MN于Q，连结AQ，易见点Q在以点O、A为焦点，R为长轴长的椭圆上.在直线MN上任取异于点Q的点P，则有RAOAPOPPAOP=′′+=+，因此点P在椭圆外.这说明直线MN上的点都在椭圆1)2()2()2()2(22222=−+−aRyRax外或者边界上.QA′图85由此可知，这个折痕直线（即直线MN）总与椭圆1)2()2()2()2(22222=−+−aRyRax相切.2.问题2中也容易看出所得的轮廓在圆内部是双曲线一支的一部分.那么是哪个点运动形成了该双曲线呢？借助计算机，连结EA并延长EA交折痕l于Q，如图9，然后拖动点E，观察Q点运动轨迹（利用几何画板的跟踪点功能）如图10：图9图10发现Q点运动形成了双曲线的一支（在圆内为双曲线一支的一部分）.从观察图10不难猜测圆心A与圆外所取任一点F为该双曲线的焦点.以下证明Q点轨迹为双曲线的一支：证明：如图10，延长EA交l于Q，连结QF，设圆半径为r（定值）；QMEFQFQEEAQEQArQFQArAFQ∴=−=∴−=QQ为的中垂线又为圆半径则根据双曲线的定义可以知道点运动轨迹为双曲线一支.该双曲线以已知圆的圆心A和圆外任取一点F为焦点,圆半径r为实轴长.但因为该轮廓是折纸所得折痕在圆内的部分,则显然为该支双曲线的一部分.针对这部分知识应用，题型可以类比例1，如下：例3：已知1,02A⎛⎞−⎜⎟⎝⎠，B是圆F：221124xy⎛⎞−+=⎜⎟⎝⎠(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF延长线于P，则动点P的轨迹方程为_____________.分析：根据对问题2的证明，可以知道P点的轨迹为双曲线的右支，该双曲线6焦点为圆心1,02F⎛⎞⎜⎟⎝⎠与圆外一点1,02A⎛⎞−⎜⎟⎝⎠，实轴长为圆半径12，因为焦点是在x轴上，中心在原点，马上可以得到所求双曲线右支的方程为：2211()1341616xyx−=≥即22161161().34xyx−=≥通过问题1和问题2的解答，可以发现:(1)折痕所围成的轮廓到底是椭圆还是双曲线取决于任取的点F是在圆内（椭圆）还是圆外（双曲线），同时该点必为所得椭圆或双曲线的一个焦点，另外一个焦点为已知圆圆心.(2)以椭圆（或双曲线）的其中一个焦点为圆心，以长轴（或实轴）长为半径的圆上任一点与另一个焦点连线段的中垂线，必与该椭圆（或双曲线）相切.事实上，问题1与问题2所得到的图形有个很形象的名称叫做椭圆和双曲线的包络线，以下问题3将得到抛物线（一部分）的包络线.3.问题3中得到的是抛物线的一部分，那是哪点所运动得到的轨迹？现作辅助线如下（如图11）：过动点P作AB的垂线，交DP的中垂线于Q，连结QD，拖动P点观察Q点的轨迹，可以发现Q点运动形成的轨迹为抛物线一部分，观察不难猜测D为抛物线焦点，而直线AB为抛物线准线.图11现在证明如下：证明：过动点P作AB的垂线，交DP的中垂线于Q，连结QD；因为Q在线段DP的中垂线上，P点在AB上运动，所以始终有QP=QD；7根据抛物线定义，可以知道Q点运动的轨迹为抛物线，而且焦点为D，准线为直线AB.易见折纸所得折痕围成轮廓显然为抛物线的一部分.针对这部分知识进行应用，可以出题型如下：例4：将一张长为8，宽为4的长方形纸片ABCD的一个角斜折，使D点总是落在对边AB上，此时将D记为P，过P作PQ垂直AB交折痕l于点Q，这样继续折下去，并以AD中点O为原点，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图12），则Q点轨迹方程为.图12分析：根据对问题3证明，容易知道Q点运动的轨迹为抛物线的一部分，便可知点Q的轨迹是以D为焦点，AB为准线的一段抛物线．由所建立直角坐标系，得抛物线开口向下，设为22xpy=−，且22p−=−则4p=，所以点Q的轨迹方程是28(04)xyx=−≤≤．注意抛物线方程易求，但因为轨迹只是抛物线的一部分，容易漏掉x的取值范围.通过问题3可以发现：（1）这些折痕围成的轮廓是抛物线的一部分，其中D为该抛物线的焦点，直线AB为准线；（2）所有的中垂线MQ都与抛物线相切，即抛物线的焦点与准线上的点的连线段的中垂线必与抛物线相切；四．问题探究及知识拓展以上我们得到了圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线的包络线，那我们可以类比联想怎样可以得到圆的包络线？同时问题3中只是得到抛物线的一部分，怎样可以得到完整的抛物线呢？8问题4：如果将问题1与问题2中的F点取成圆心（即A点与F点重合），那折痕围成的轮廓又是什么？采取与问题1问题2同样的方法，把点F取在圆心，用计算机模拟得到效果如图13：图13结论：所得到的折痕围成的轮廓为圆.证明如下:证明：如上图，连结EF作EF的中垂线l（折痕）交EF于M，设圆半径为r（定值）因为折痕l为EF的中垂线，M在l上，所以不论E在圆F上怎么运动始终有MF=ME=2r，即动点M到定点F的距离为定值2r，则M点运动的轨迹为圆.例5：拿一张圆形纸片，在圆内取点A与圆心O重合，将纸片折起，使圆周过点A，然后将纸片展开，就得到一条折痕l，这样继续下去，得到若干折痕，设圆O半径为R，以O为原点，建立直角坐标系（如图14）求证：这些折痕所在的直线是圆222()2Rxy+=的包络线.证明：如图14：因为直线MN是AA′的中垂线，设MN与AA′的交点为Q，则2RQA=（定值）所以点Q在以O为圆心，2R为半径的圆上，在直线MN上任取异与点Q的点P，则AQPA2R=，这说明直线MN上的点都在圆222)2(Ryx=+外或者边界上,所有的直线MN构成了222)2(Ryx=+的包络线.问题5：如果将问题3的线段AB变为直线AB，所得的折痕围成的轮廓又是什么？采取与问题3同样的方法，只把把线段AB改为直线AB，用计算机模拟如图15：A′OAMNPQXY图149结论：得到的折痕围成轮廓为一条完整的抛物线.证明方法完全类似问题3.例6：一张纸上有定直线l与一定点A，设点A到定直线l的距离为(0)pp，折叠纸片，使定直线l的某一点A′与点A重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕.当A′取遍直线上所有点时，求所有折痕所在直线上的点的集合.解：过A作定直线l的垂线，交l于点B，则AB＝p，以直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立坐标系（如图16），作直线MN为AA′的中垂线，过A′作定直线l的垂线，交MN于Q，则AQQA′=，故点Q在以点A为焦点，定直线l为准线的抛物线上.在直线MN上任取异与点Q的点P，设点P到直线l的距离为d则dAPPA′=，这说明直线MN上的点都在抛物线pxy22=左边的部分及其边界上，所有