概率统计简明教程多媒体参考资料第一篇概率论

«工程数学—概率统计简明教程»（第二版）—多媒体参考资料同济大学数学系柴根象蒋凤瑛杨筱菡2011.121•第一篇概率论部分•第二篇统计部分2信息时代与统计（代序）2009年8月6日的美国纽约日报有篇文章，题为：对如今的毕业生而言，就一个词：统计学.谷歌的首席经济学家哈尔·瓦里安说：“我一直都说，在未来10年，最具吸引力的工作将是统计师.”统计师地位的提高是近来电子数据爆炸式增长的结果，到2012年，全球电子数据约增长5倍.3正如麻省理工学院的埃生克·布林约尔松所说,我们正在迅速进入一个每件事都能被监控和分析的世界，但问题在于人类利用、分析和解释数据的能力！这正反映了信息时代对统计和统计人才的强大需求，鲜活客观的数据是解决长期经济需求问题，以及确定重要政策的优先程序的第一步.因而人们只有借助统计学这一重要工具，使用计算机和缜密的数学模型，在大量数据中发掘重要信息，寻求其规律和决定对策.4第一篇概率论部分5（一）事件的概率（二）条件概率与事件的独立性（三）随机变量及其分布（四）随机变量的数字特征6（一）事件的概率1.随机事件2.概率的概念及性质3.古典概型71.随机事件•在随机试验中，对某些现象的陈述为随机事件（也简称事件）.•对于指定的一次试验，一个特定的事件可能发生，也可能不发生，这就是事件的随机性.8•例1（第一章例1），投掷一枚均匀骰子，观察朝上面的点数，我们关注“出现点数不大于4”这个事件（记之为A）.当试验结果出现3点时，事件A发生；当试验结果出现5点时，事件A不发生.总之，在试验前，无法判断事件A是否发生.9事件的关系（1）（B包含A）;（2）A=B（A与B相等）;（3）A与B互斥（A，B不能在一次试验中同时发生）.10AB事件的运算11例2（第一章例7）有两门火炮同时向一架飞机射击，考察事件A={击落飞机}，依常识，“击落飞机”等价于“击中驾驶员”或者“同时击中两个发动机”，因此A是一个较复杂的事件.如记Bi={击落第i个发动机},i＝1,2，C={击中驾驶员}，相对A而言，B1、B2及C都较A为简单.我们可以用B1、B2及C表示AA=B1B2∪C这可以简化复杂事件A的概率计算.12事件分解的要点是：正确使用事件的运算建立各简单事件之间的关系.132.概率的概念及性质•概率是事件发生的可能性大小的度量.•概率的统计定义：概率是频率的稳定值,常常用于概率的近似计算，是非常有用的.但要注意，试验次数要足够多.14概率的三条公理(1)1)(0AP；(2)1)(P；(3)对任意一列两两互斥事件12,,AA有11)(nnnnAPAP.15事件的加法公式及推广:对于任意事件A、B,有)()()()(ABPBPAPBAP16对任意n个事件12,,,nAAA，有1121111111...()()()(1)()(1)(...)kknnkkijkijnkkniiniiinPAPAPAAPAAPAA例3（第二章例9）据资料获悉某市居民私房拥有率为63%，私车拥有率为27%，而既无房也无车的占30%，求任意抽查一户，恰为既有房又有车的概率.解分别记事件A={抽到的一户有房}，B={抽到的一户有车}，C={抽到的一户有车、有房}由题设()0.63,()0.27,()0.3.PAPBPAB显然有,CAB且由对偶律及概率性质3知()1()1()10.30.7.PABPABPAB因此由性质5，()()()()()0.630.270.700.20.PCPABPAPBPAB因此既有车又有房的概率为0.20.17•概型的要求①有限性：可能结果只有有限个；②等可能性：各个可能结果出现是等可能的.•概率的计算公式3.古典概型().kAPAn有利于的样本点数样本点总数18例4（第二章例1）设有批量为100的同型号产品，其中次品有30件.现按以下两种方式随机抽取2件产品：（a）有放回抽取，即先任意抽取1件，观察后放回，再从中任取1件；（b）不放回抽取，即先任意抽取1件，观察后不放回，从剩下的产品中再任取1件.试分别按这两种抽样方式求:（1）两件都是次品的概率；（2）第1件是次品，第2件是正品的概率.19解容易验证满足古典概型的要求记A={两件都是次品}，B={第1件次品，第2件正品}.只讨论有放回情况（不放回情况是类似的）,计算样本点总数，注意随机抽取2件产品的试验可以看成有放回地二次抽取，每次取一件.而每次抽取均有100种可能结果，依原理，一共有n＝100×100＝10,000种可能结果，此即样本点总数.20而构成事件A的样本点的条件必须每次抽取来自30件次品，因此每次有30种可能结果，因而有k＝30×30＝900种可能结果，于是同理，可得900()0.09.kPAn＝10,0003070()0.21.PB＝10010021*例5（第二章例5）占位问题n个球随机地落入r个不同盒子中nr，假设每个盒子足够大，容纳的球数不限，于是n个球在r个盒子中的分布(一共有nr种)是等可能的，求：1没有一盒有超过1个球的概率;2第一盒恰有j个球的概率(1)jn.22解记问题（1）、（2）涉及的随机事件分别为A,B.1A发生当且仅当不同的球落入不同的盒子，因此有利于A的样本点数为不可重复排列数11rrrn。所以11nrrrnPAr；2第一盒的j个球来自n个球的总体，一共有nj种不同选择；当第一盒的j个球选定后，剩下的nj个球落入剩下的1r个盒子中，其球在盒子的分布总数为(1)njr，因而有利于B的样本点数为(1)njnrj.最后得到(1)njnnrjPBr.23（二）条件概率与事件的独立性1.条件概率2.全概率公式和贝叶斯公式3.事件的独立性241.条件概率计算公式：若()0PB，则()()()PABPABPB乘法公式：若()0PB，则()()()PABPBPAB推广：若()0PAB，()()()()PABCPAPBAPCAB25例6（第三章例3）一批零件共100件，其中次品有10件，今从中不放回抽取2次，每次取1件，求第一次为次品，第二次为正品的概率.解记A＝{第一次为次品}，B＝{第二次为正品}，要求P(AB)，由乘法公式，先求P(BlA)及P(A)已知P(A)=0.1，而P(BlA)＝90/99，因此P(AB)＝P(A)P(BlA)＝0.1×90/99＝0.091.2627例7设A,B为两个事件，且已知()0.3,()0.4,()0.5PAPBPAB,求()PBA及()PBAB.解因为()()()()()()PBAPBPABPBAPAPA(())()()()()()()PBABPABPBABPABPAPBPAB()()()()()()()()PABPABPAPBPAPABPBPAB,28依假设条件，只需求出()PAB,即可求解.今()(())()()PABPAABPAPAB1()()10.30.50.2PAPAB,所以()0.20.40.22()()0.33PBPBAPA,0.21()10.40.24PBAB.2.全概率公式和贝叶斯公式全概率公式若事件12,,,nAAA两两互斥，且0)(iAP，ni1,令niiBAB1,则有niiiABPAPBP1)|()()(.原因A1原因A2原因An结果B……全概率公式是已知“原因”发生概率，求“结果”发生概率.29贝叶斯公式设nAA,,1两两互斥，且0)(iAP，ni1，0)(BP，niiBAB1,则对任一1in，有nkkkiiiABPAPABPAPBAP1)|()()|()()|(.贝叶斯公式是已知“结果”，推断该“结果”由某“原因”发生的概率。原因A1原因A2原因An结果B……30在贝叶斯公式中，称P(A1)，…，P(An)为先验概率，而P(A1lB)，…，P(AnlB)为后验概率，它表示在有了试验结果B已发生的附加信息下，对先验概率的修正.31例8（第三章例6）血液化验一项血液化验以概率0.95将带菌病人检出阳性，但也有1％的概率误将健康人检出阳性.设已知该种疾病的发病率为0.5％，求已知一个个体被此项血液化验检出阳性条件下，该个体确实患有此种疾病的概率.32解此例的“结果”是血液化验检出是阳性，产生此结果的两个可能“原因”是：一、带菌；二、健康人.问题是求从已知“结果”为阳性条件下，而事实上是“带菌”的条件概率：P(带菌l阳性)记B＝{阳性}，A1＝{带菌}，A2＝{不带菌}.已知由贝叶斯公式得到1()0.005,PA1()0.95,PBA2()0.01,PBA10.0050.95()0.323.0.0050.950.9950.01PAB1().PAB要求33带菌不带菌总和阳性0.951.992.94非阳性0.05197.01197.06总和1199200其中数字0.95，1.99是由假设条件及公式0.95＝1×0.951.99＝199×0.01算出.因此已检出阳性条件下（总共2.94人），带菌（只有0.95人）的条件概率为为什么验出是“阳性”，而事实上为“带菌”的概率如此小？以下是平均总数为200人的分类表：195()0.323.294PAB3435例9根据犯罪记录，可确定的犯罪嫌疑人中70%是有罪的，假设有一些新证据表明罪犯有某些特征，但人群中有此特征的概率为0.3.如果查出犯罪嫌疑人有此特征，求他有罪的条件概率.解记A={犯罪嫌疑人有罪}，B={犯罪嫌疑人有此特征}.依假设()1,()0.3,()0.7,PBAPBAPA因此由贝叶斯公式有()()()()()()()PAPBAPABPAPBAPAPBA0.710.70.886.0.710.30.30.79也就是说，由于查出犯罪嫌疑人有此特征，使其有罪的概率从0.7上升到0.886.3.事件的独立性称事件A,B独立，如果)()()(BPAPABP;A,B相互独立当且仅当()()PBAPBA,其中0()1PA.该公式表明：事件A发生与否，不影响事件B发生的概率，这正是事件独立的含义.36推广：三个事件CBA,,相互独立，如果)()()(BPAPABP，)()()(CPAPACP，)()()(CPBPBCP，且)()()()(CPBPAPABCP.注意到仅有前三个等式成立，称事件CBA,,为两两独立。两两独立不一定相互独立（见教材第三章例9）.37若已知A,B,C相互独立，以下公式可简化相关事件概率的计算：()1()PABCPABC1()()()PAPBPC.38例10(第三章例14)某公司生产一批同型号的医疗仪器，产品的80%无需调试即为合格品；而其余20%需进一步调试，经调试后，其中70%为合格品，30%为次品.假设每台仪器的生产是相互独立的.（1）求该批仪器的合格率；（2）又若从该批仪器中随机地抽取3台，求恰有一台为次品的概率.39解分别记事件A={无需调试}，B={合格品}，A={需调试}，C={随机抽取3台，恰有1台次品}.（1）由全概率公式知()()(|)()(|)PBPAPBAPAPBA.其中,已知()0.8,(|)1,(|)0.7.PAPBAPBA因此()0.810.200.700.94PB，即仪器的合格率为0.94.（2）由于生产是独立的，因此可以将该试验看成为3,10.940.06np的伯努利试验，其中p为仪器的次品率。于是23()0.060.940.159.1PC4041例11独立地重复投掷两枚均匀骰子，求两枚骰子的点数之和为4出现在点数之和为6之前的概率.解记A={点数之和为4出现在点数之和为6之前}，nA={前n-1次