合肥工业大学-高等数学-上-6-3-定积分在物理学中的应用资料

6.3定积分在物理学中的应用6.3.1变力沿直线所做的功6.3.2水压力6.3.3引力12-1物理学知识可知，如果物体在作直线运动的过程中受到常力F的作用，且常力F的方向与物体运动的方向一致，则当物体从点A运动到点B时，常力F所做的功为WFAB．6.3.1变力沿直线所做的功但在实际问题中，经常会遇到力F是变力()FFx，因此上述方法不再适用．这时，可利用定积分的微元法计算变力所做的功．12-2定理6.3.1设物体在连续变力()Fx作用下沿x轴从xa移动到xb，力的方向与运动方向平行，则变力所做的功为()dbaWFxx．证取x为积分变量，则[,]xab，在[,]ab上任取小区间]d,[xxx（如图），则]d,[xxx上，有()dWFxx，从而功元素为d()dWFxx，因此在[,]ab上积分得d()dbbaaWWFxx．12-3例6.3.1某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层．汽锤每次击打时都将克服土层对桩的阻力而做功．设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为,0kk）．汽锤第一次击打将桩打进地下a米．根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数(01)rr．问汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？12-4解设第n次击打后，桩被打进地下nx米，第n次击打时，汽锤所作功为(1,2,3)nWn．由题设，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为kx，所以121102xkWkxdxx，2122221()2xxkWkxdxxx，3222332()2xxkWkxdxxx．由1xa，12rWW及32WrW可得222(1)xra，2223(1)xrra，故arrx231，所以汽锤击打3次后，可将桩打进地下21rra米．12-5例6.3.2如图所示，一半圆柱形水槽的长为H，截面半径为R．若水槽盛满了水，求把水全部抽尽需做的功W．（水的密度为）分析如果将水抽出水槽外，必须要克服水的重力做功．由于水位不同，重力有变化，故此为变力做功问题．但由于本题中需将水提升，不同于定理6.3.1的情形，故不可直接运用定理6.3.1.解如图所示建立坐标系．在水槽截面上，圆周的方程为)0(222xRyx．取x为积分变量，变化的区间为[0,]R，在[0,]R上任取小区间]d,[xxx，对应于此区间上的薄水层的体积近似为222dVHRxx，将此薄水层提升x而被抽出水槽外时，克服重力所做的功近似为222dHgxRxx，从而得到功元素为22d2dWHgxRxx，故所求的功为223002d2d3RRWWHgxRxxHgR．12-6由物理学中的帕斯卡(Pascal)定律知，面积为A的平板水平地放置于液体中深为h处，其一侧所受压力为FpA，其中pgh为液体中深为h处的压强，为液体的密度．6.3.2水压力如果平板非水平地置于水中，那么在不同深度处，平板上的压强p不同，则平板一侧所受的水压力不能用上述方法求得，但可以利用微元法来计算．12-7例6.3.3洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，其顶头长、短半轴分别为b米与a米，试就下列两种情况，分别计算水箱顶头面所受的压力（水的密度为）．⑴当水装满时；⑵当水刚好为半箱时．解如图建立坐标系，并取x为积分变量．⑴x的变化范围[,]aa，在[,]aa上任取小区间]d,[xxx，对应于]d,[xxx上窄条所受的压力近似于222()2d()d,baxyxggaxaxxa所以压力元素为222d()dbFgaxaxxa，故所受压力为2222()daabFgaxaxxabga（牛顿）．⑵x的变化范围[0,]a，类似我们得到压力的微元为222ddbFgxaxxa，故所受的压力为222022d3abFgxaxxabga（牛顿）．12-8例6.3.4某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB（长度为米）围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5:4，闸门矩形部分的高h应为多少米？解如图建立坐标系，则抛物线的方程为2yx．并取y为积分变量．由定积分的微元法，闸门矩形部分承受的水压力为12112(1)dhPghyygh，闸门下部承受的水压力为12022(1)d4()315hPghyyyg，其中为水的密度，g为重力加速度．由题意知12:5:4PP，即2245()315hh，解得2h，即闸门的矩形部分的高应为2米．12-9由物理学中的万有引力定律知道，质量分别为12,mm，相距为r的两质点之间的引力为221rmmkF，其中k为引力系数，且引力的方向沿着两质点的连线方向．6.3.3引力如果考虑的不是两个质点之间的引力，而是一根细棒对一个质点的引力，或者是一根细棒对另一根细棒的引力，就不能直接运用上述公式，此时的问题相对复杂一些，现举例说明用定积分的微元法计算一根细棒对一个质点的引力．12-10例6.3.5设有一长为l，线密度为的均匀细直杆，在与细直杆的一端垂直距离为a处有一个质量为m的质点M，试分别求细直杆对质点M在平行于细直杆方向和铅直于细直杆方向上的引力分量．解如图建立坐标系，取x为积分变量，x的变化区间为[0,]l．在[0,]l中任取子区间]d,[xxx，相应的细杆上的小段可视为一个质点，其质量为dx，它与点M相距为22rxa．由两质点之间的万有引力公式，可得]d,[xxx上的一小段细杆对质点M的引力近似值为222ddkmxkmFxrxa，所以引力元素为22ddkmFxxa．12-11于是，所求引力F在水平方向与铅直方向的分力,xyFF的元素分别为223/2223/2ddcosd,ddsind()()xykmxkmaFFxFFxxaxa．所以，223/222011d()()lxxFkmxkmxaaal．续解设引力dF与x轴正向夹角为，则2222cos,sinxaxaxa，223/22201d()lykmlFkmaxxaaal．12-12