工程力学——2-3平面力偶系

§2–3平面力偶系BOF2一、力矩力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。•1、力对点之矩定义：力与力臂的乘积冠以正、负号定义为力F对O点的力矩。O—转动的中心。称为力矩中心，简称矩心d—转动中心到力作用线之间的距离称为力臂(注意单位)表达式：Mo(F)=±F·d正负号规定：若力使物体绕矩心作逆时针转向转动力矩取正号,反之取负号。F1F3F4问题：图示力F对O点的力矩应取什么符号？•力矩必须与矩心相对应，同一个力对不同点产生的力矩是不同的，因此不明矩心而求力矩是无任何意义的。在表示力矩时，必须表明矩心。•力矩在下列两种情况下等于零：力等于零或力的作用线通过矩心。•力F对任一点的矩，不因力F沿其作用线的移动而改变。F2dO力矩计算简支刚架如图所示，荷载F=15kN，α=45,尺寸如图。试分别计算F对A、B两点之矩。αdABF4m1m1mαo解:1、力F对A点的力矩。力臂d=4m×sinα=4m×sin45d=22m-15kN×2·MA(F)=-F×d=2m2=-30kN×m·2、力F对B点的力矩。力臂d=1m×sinα=1m×sin45=221mMB(F)=+Fd=+15kN×0.52m=7.5+2kNm·×注意：负号必须标注，正号可标也可不标。一般不标注。2.合力矩定理力系中合力对一点的矩，等于力系中各分力对同一点之矩的代数和。设某力系为Fi（i=1,2,…n），其合力为FR，根据以上理论，则有表达式：in21RFF...FFF其中：)()(...)()()(21ionoooRoFMFMFMFMFM由合力投影定理有：证毕)()()(21FMFMRMooo证明：niiOOFMRM1)()(od=ob+ocoboAoABFMO2)(1ocoAoACFMO2)(2odoAoADRMO2)(又∵ABF4m1m1mαo例1荷载F=20kN，α=45,尺寸如图。试分别计算F对A、B两点之矩。Fx=Fcosα=20N×0.7=14N解:Fy=Fsinα=20N×0.7=14N1、力F对A点的力矩MA(Fx)=-Fx×d=-14kN×2=-28kN×mMA(Fy)=-Fy×d=14kN×6=84kN×mMA(F)=MA(Fy)+MA(Fx)=84kN×m-28kN×m=56kN×mB点大家求一下例2求图中荷载对A、B两点之矩(b)解：图（a）：MA=-8×2=-16kN·mMB=8×2=16kN·m图（b）：MA=-4×2×1=-8kN·mMB=4×2×1=8kN·m(a)[例3]已知：如图F、Q、l,求：和解：①用力对点的矩法②应用合力矩定理)(FmO)(Qmosin)(lFdFFmOlQQmo)(ctg)(lFlFFmyxOlQQmo)(0.6m0.4mCBAF300例4、已知：机构如图，F=10kN，求：MA(F)=?dFxFy解:方法一:MA(F)=-F•d=-100.6sin60033236方法二:MA(F)=-F•cos300•0.6+0=-100.6cos30033236Fx=Fcos300MA(Fx)33Fy=-Fsin300MA(Fy)=0MA(F)=MA(Fx)+MA(Fy)例5.图示F=5kN,sin=0.8试求力F对A点的矩.AB20FAB20F解:(1)hCD75.188.015BCCD=18.75×0.6=11.25AC=20-11.25=8.75h=8.75×0.8=7mo(F)=hF=7×5=35AB20F(2)FxFyFx=Fcos=5×0.6=3Fy=Fsin=5×0.8=4Dmo(Fx)=-BD·Fx=-15×3=-45mo(Fy)=AD·Fy=20×4=80mo(F)=mo(Fx)+mo(Fy)=-45+80=35支架如图所示，已知AB=AC=30cm,CD=15cm,F=100N,30求对A、B、C三点之矩。FFABCDAdCd解：由定义mNCDFFdFmmNADFFdFmCCAA5730sin)(52230sin)(由合力矩定理mNADFABFADFABFFmyxB48.4830sin30cos)(OxyFA1r2rBd如图所示，求F对A点的矩。解一：应用合力矩定理)cos()cos(sincossinsin)cos(cos)()()(212212112rrFFrFrrFrrFFmFmFmyAxAA解二：由定义cos1rOBcos12rrAB12coscosrrABd)cos()(21rrFFdFmA[练习]图示胶带轮，已知T1=200N,T2=100N,D=160mm,求MB(T1)+MB(T2)=?2TB1TmNmmNDTDTFMMiBB880002160)100200(22)(21解：3.力矩的平衡条件内容：各力对转动中心O点之矩的代数和等于零，即合力矩为零。公式表达：0)()(...)()()(21ionoooRoFMFMFMFMFM二、力偶1、什么是力偶•力学中把一对等值、反向且不共线的平行力称为力偶。（F，F`）无法再简化的简单力系之一•力偶作用面：两力作用线所决定的平面；•力偶臂：两力作用线之间的垂直距离，用d表示；d力偶的三要素：1）力偶中力的大小2）力偶的转向3）力偶臂的大小FdM力偶实例力偶实例F1F2•力偶矩：力学中，用力偶的任一力的大小F与力偶臂d的乘积在冠以相应的正、负号，作为力偶使物体转动效应的度量，称为力偶矩，用M表示。M=±F×d·注：力偶逆时针转动时取正，反之取负。F=F′d：力偶臂力偶矩的单位：Nm、kNmFF′d+—2.力偶的特性性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。力偶无合力，不能与一个单个的力平衡；力偶只能与力偶平衡。力偶只能是物体转动，转动效果取决于力偶矩。FF/abcdabF性质2力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。xFdxFFmFmOO')()'()(dFFF'dOxAB性质3：平面力偶等效定理作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。②只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。由上述证明可得下列两个推论：①力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作用效应。3.力偶的表示方法用力和力偶臂表示，或用带箭头的弧线表示，箭头表示力偶的转向，M表示力偶的大小。关于力偶性质的推论只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用面内任意移动，其对刚体的作用效果不变。FF´FF´只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用面内任意移动，其对刚体的作用效果不变。关于力偶性质的推论FF´FF´保持力偶矩矢量不变，分别改变力和力偶臂大小，其作用效果不变。关于力偶性质的推论FF´F/2F´/2只要保持力偶矩矢量大小和方向不变,力偶可在与其作用面平行的平面内移动。关于力偶性质的推论M=Fdk1.平面力偶系的简化作用在物体同一平面内的各力偶组成平面力偶系。m1＝F1•d1，m2＝F2•d2，m3＝－F3•d3，P1•d=F1•d1，P2•d＝F2•d2，－P3•d＝－F3•d3FR＝P1＋P2－p3FR′＝P1′＋P2′－P3′三、平面力偶系的简化与平衡M＝FRd＝（P1＋P2－P3）d=P1•d+P2•d－P3•d=F1•d1+F2•d2－F3•d3所以M＝m1＋m2＋m3若作用在同一平面内有个力偶，则上式可以推广为由此可得到如下结论：平面力偶系可以合成为一合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩的代数和。niinmmmmM121平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力偶矩等于零，则原力系必定平衡；反之若原力偶系平衡，则合力偶矩必等于零。由此可得到平面力偶系平衡的必要与充分条件：2.平面力偶系的平衡条件即ΣM＝0注：平面力偶系有一个平衡方程，可以求解一个未知量。平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零。图示矩形板，边长分别为a、2a，各受大小相等、方向相反的力偶作用，试画出整体和两板的受力图。MABMCMCARCRMMABCARBRBRMCR[例]在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和A、B端水平反力?mN154321mmmmmN60)15(44321mmmmM02.04321mmmmNBN3002.060BNN300BANN解:合力偶距平面力偶系平衡•车间内有一矩形钢板，要使钢板转动，加力F,F′如图示。试问应如何加才能使所要的力最小？ababFF′当力偶一定时，只有力偶臂最长所用的力才最小。图中梁AB处于平衡，如何确定支座A、B处反力的方向？lM1M2ABM1M2ABFAFB力偶只能和力偶平衡，A、B两点的力应构成力偶，所以，这两个力大小相等、方向相反。即A点的水平分力为零，可以不画。图中所示的拉力实验机上的摆锤重G，悬挂点到摆锤重心C的距离为l,摆锤在图示三个位置时，求重力G对O点之矩各为多少？CGlθ123o解:MO(F)=Fd位置1:MO(F)=Gd=0位置2:MO(F)=－GGd=lsinθ－Glsinθ位置3:MO(F)=－Gl•刚架上作用着力F,分别计算力F对A点和B点的力矩。F、α、a、b为已知。AFαBabFxFy解：用定义计算，力臂不易确定，所以，用合力矩定理。MA(F)=－Fx·b=－b·FcosαFx=FcosαFy=FsinαMB(F)=MB(Fx)+MB(Fy)=－b·Fcosα+a·Fsinα[例]图示结构，求A、B处反力。解：1、取研究对象整体2、受力分析AYBN特点：力偶系3、平衡条件∑mi=P·2a－YA·l=0lPaYNAB2思考∑mi=0BRARP·2a－RB·cos·l=0αcos2lPaRRABAB1m2m3mARBR求图示简支梁的支座反力。AB1m2m3ml解：以梁为研究对象，受力如图。0:0321mmmlRmA解之得：BARlmmmR321例题.在梁AB上作用一个力偶,其矩为m,梁长为l.自重不计.试求支座A和B的约束反力.45oABlm解:取梁AB为研究对象45oABlmRARB45o45oRA=RB=Rm(RA,RB)=Rlcos45omi=0Rlcos45o-m=0R=RA=RB=lm2例题.图示铰链四连杆机构OABO1处于平衡位置.已知OA=40cm,O1B=60cm,m1=1N·m,各杆自重不计.试求力偶矩m2的大小及杆AB所受的力.OABO1m2m130o解:AB为二力杆OABO1m2m130oSA=SB=SSSSS取OA杆为研究对象.mi=0m2–0.6S=0(1)取O1B杆为研究对象.mi=00.4sin30oS-m1=0(2)联立(1)(2)两式得:S=5m2=3例题.不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触,它们分别受力偶矩为m1与m2的力偶作用,转向如图.问m1与m2的比值为多大,结构才能平衡?60o60oABCDm1m2解:取杆AB为研究对象画受力图.杆AB只受力偶的作用而平衡且C处为光滑面约束.则A处约束反力的方位可定.ABCm1RARCmi=0RA=RC=RAC=aaR-m1=0m1=aR(1)取杆CD为研究对象.因C点约束方位已定,则D点约束反力方位亦可确定.画受力图.60o60oDm2BCARDRCRD=RC=RCD=ami=0-0.5aR+m2=0m2=0.5aR(2)联立(1)(2)两式得:221