高数6.3定积分在物理学上的应用

目录上页下页返回结束第1页第三节一、变力沿直线所作的功二、水压力三、引力问题定积分在物理学上的应用第六章目录上页下页返回结束第2页一、变力沿直线所作的功设物体在连续变力F(x)作用下沿x轴从xa移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.xabxxxd在其上所作的功元素为xxFWd)(d因此变力F(x)在区间上所作的功为baxxFWd)(目录上页下页返回结束第3页例1.一个单求电场力所作的功.qOrabrrrd11解:当单位正电荷距离原点r时,由库仑定律电场力为则功的元素为rrqkWdd2所求功为rqk1ab)11(baqk说明:aqk位正电荷沿直线从距离点电荷a处移动到b处(ab),在一个带+q电荷所产生的电场作用下,目录上页下页返回结束第4页S例2.体,求移动过程中气体压力所Ox解:由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S的活塞从点a处移动到点b处(如图),作的功.ab建立坐标系如图.xxxd由波义耳—马略特定律知压强p与体积V成反比,即功元素为故作用在活塞上的所求功为力为在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气目录上页下页返回结束第5页m3m5例3.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?解:建立坐标系如图.Oxxxxd在任一小区间]d,[xxx上的一薄层水的重力为gxd3π2这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为Wdxxgdπ9故所求功为50Wxxgdπ9gπ922xgπ5.112(KJ)设水的密度为05(KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为5m,底圆半径为3m,目录上页下页返回结束第6页面积为A的平板二、水压力设液体密度为深为h处的压强:hgph当平板与水面平行时,ApP当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决.平板一侧所受的压力为••目录上页下页返回结束第7页小窄条上各点的压强xgp332Rg例4.的液体,求桶的一个端面所受的压力.解:建立坐标系如图.所论半圆的)0(Rx利用对称性,侧压力元素RP0xxRxgd222OxyRxxxd222xRPdxg端面所受侧压力为xd方程为一水平横放的半径为R的圆桶,内盛半桶密度为目录上页下页返回结束第8页三、引力问题质量分别为的质点,相距r,1m2mr二者间的引力:大小:方向:沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力,则需用积分解决.目录上页下页返回结束第9页例5.设有一长度为l,线密度为的均匀细直棒,其中垂线上距a单位处有一质量为m的质点M,M该棒对质点的引力.解:建立坐标系如图.y2l2l]d,[xxx细棒上小段对质点的引力大小为dkFxmd22xa故铅直分力元素为cosddFFya22dxaxmk22xaa23)(d22xaxamkxOx在试计算FdxFdyFdxxd目录上页下页返回结束第10页利用对称性223022)(d2lxaxamkFy02222lxaaxamk22412laalmk棒对质点引力的水平分力.0xF22412llmkFaa故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的铅直分力为My2l2laaxOxFdxFdyFdxxd目录上页下页返回结束第11页内容小结(1)先用元素法求出它的微分表达式dQ一般元素的几何形状有:扇、片等.(2)然后用定积分来表示整体量Q,并计算之.1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量Q的步骤:2.定积分的物理应用:变力作功,压力,引力条、段、环、带、目录上页下页返回结束第12页作业P2926、8、11