历届全国大学生数学竞赛数学类试卷及解析(2009-2015)

第1页（共6页）专业：线年级：封所在院校：密身份证号：姓名：首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答（数学类，2009）考试形式：闭卷考试时间：120分钟满分：100分.题号一二三四五六七总分满分15201510101515100得分注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效.2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.一、（15分）求经过三平行直线1:Lxyz==，2:11Lxyz−==+，3:11Lxyz=+=−的圆柱面的方程.解：先求圆柱面的轴0L的方程.由已知条件易知，圆柱面母线的方向是(1,1,1)n=G，且圆柱面经过点(0,0,0)O，过点(0,0,0)O且垂直于(1,1,1)n=G的平面π的方程为：0xyz++=.……………………………（3分)π与三已知直线的交点分别为(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1)OPQ−−…………（5分)圆柱面的轴0L是到这三点等距离的点的轨迹，即222222222222(1)(1)(1)(1)xyzxyzxyzxyz⎧++=−+++⎪⎨++=+++−⎪⎩，即11xzyz−=⎧⎨−=−⎩，……………………………………………（9分)将0L的方程改为标准方程11xyz−=+=.圆柱面的半径即为平行直线xyz==和11xyz−=+=之间的距离.0(1,1,0)P−得分评阅人第2页（共6页）为0L上的点.……………………………………………………………….（12分)对圆柱面上任意一点(,,)Sxyz，有00||||||||nPSnPOnn××=GJJJGGJJJGGG，即222(1)(1)(2)6yzxzxy−+−+−−+−++=，所以，所求圆柱面的方程为：222330xyzxyxzyzxy++−−−−+=.……………….（15分)二、（20分）设nnC×是nn×复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C上的线性空间，121000100010001nnnaaFaa−−−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠#########.（1）假设111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，若AFFA=，证明：121112111nnnnAaFaFaFaE−−−=++++；（2）求nnC×的子空间{}()|nnCFXCFXXF×=∈=的维数.（1）的证明:记12(,,,)nAααα=，121112111nnnnMaFaFaFaE−−−=++++.要证明MA=，只需证明A与M的各个列向量对应相等即可.若以ie记第i个基本单位列向量.于是，只需证明：对每个i，()iiiMeAeα==.………………………（2分)若记11(,,,)Tnnaaaβ−=−−−，则23(,,,,)nFeeeβ=.注意到，21212123111,,,()nnnnFeeFeFeeFeFFeFee−−−======（*）…..（6分)由12111121111121111121111111112121111...............................................(10()nnnnnnnnnnnnMeaFaFaFaEeaFeaFeaFeaEeaeaeaeaeAeα−−−−−−−−1=++++=++++=++++==分）知211112MeMFeFMeFAeAFeAe=====得分评阅人第3页（共6页）专业：线年级：封所在院校：密身份证号：姓名：2222311113MeMFeFMeFAeAFeAe=====11111111nnnnnnMeMFeFMeFAeAFeAe−−−−=====所以，MA=.…………………………..（14分)（2）解：由（1），21(){,,,,}nCFspanEFFF−=，…………（16分)设210121nnxExFxFxFO−−++++=，等式两边同右乘1e，利用（*）得21101211()nnOexExFxFxFeθ−−==++++21011121110112231.........................(18nnnnxEexFexFexFexexexexe−−−=++++=++++分）因123,,,,neeee线性无关，故，01210nxxxx−=====…………（19分)所以，21,,,,nEFFF−线性无关.因此，21,,,,nEFFF−是()CF的基，特别地，dim()CFn=.……………………………（20分)三、（15分）假设V是复数域C上n维线性空间（0n），,fg是V上的线性变换.如果fggff−=，证明：f的特征值都是0，且,fg有公共特征向量.证明：假设0λ是f的特征值，W是相应的特征子空间，即{}0|()WVfηηλη=∈=.于是，W在f下是不变的.…………………………（1分)下面先证明，0λ=0.任取非零Wη∈，记m为使得2,(),(),,()mgggηηηη线性相关的最小的非负整数，于是，当01im≤≤−时，2,(),(),,()igggηηηη线性无关…..（2分)01im≤≤−时令21{,(),(),,()}iiWspangggηηηη−=,其中，0{}Wθ=.因此，dimiWi=（1im≤≤），并且，12mmm===.显然，1()iigWW+⊆，特别地，mW在g下是不变的.……………………………（4分)下面证明，mW在f下也是不变的.事实上，由0()fηλη=，知00()()()()fggffgηηηληλη=+=+…………（5分)得分评阅人第4页（共6页）200002000(6.............................()()()(())(())()2()fggfgfggggggηηηληληληληληληλη=+=+++=++分）根据1111()()()()()()kkkkkfggfgfggfgfgηηηηη−−−−=+=+用归纳法不难证明，()kfgη一定可以表示成2,(),(),,()kgggηηηη的线性组合，且表示式中()kgη前的系数为0λ.………………………………….（8分)因此，mW在f下也是不变的，f在mW上的限制在基21,(),(),,()mgggηηηη−下的矩阵是上三角矩阵，且对角线元素都是0λ，因而，这一限制的迹为0mλ.…..（10分)由于fggff−=在mW上仍然成立，而fggf−的迹一定为零，故00mλ=，即0λ=0.…………………………..（12分)任取Wη∈，由于()fηθ=，()()()()()fggffgfηηηθηθ=+=+=，所以，()gWη∈.因此，W在g下是不变的.从而，在W中存在g的特征向量，这也是,fg的公共特征向量.……………………………….（15分)四、（10分）设{}()nfx是定义在[],ab上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在[],ab上满足'()nfxM≤.（1）证明{}()nfx在[],ab上一致收敛；（2）设()lim()nnfxfx→∞=，问()fx是否一定在[],ab上处处可导,为什么？证明：（1）0ε∀，将区间[],abK等分，分点为(),0,1,2,,jjbaxajKK−=+=，使得baKε−.由于{}()nfx在有限个点{},0,1,2,,jxjK=上收敛，因此N∃，mnN∀，使得()()mjnjfxfxε−对每个0,1,2,,jK=成立.…………………………..（3分)于是[,]xab∀∈，设1[,]jjxxx+∈，则()()()()()()()()mnmmjmjnjnjnfxfxfxfxfxfxfxfx−≤−+−+−，得分评阅人第5页（共6页）专业：线年级：封所在院校：密身份证号：姓名：'()()()()'()()mjmjnjnjfxxfxfxfxxξη=−+−+−()21Mε+.…（5分)（2）不一定.……………………………（6分)令21()nfxxn=+，则()lim()nnfxfx→∞=在[],ab上不能保证处处可导.（10分)五、（10分）设320sinsinnntatdttπ=∫，证明11nna∞=∑发散.解：333221200sinsinsinsinsinsinnnntntnttdttdttdtIItttππππ=+=+∫∫∫…….（3分)323100sinsin2nnntnItdtntdttπππ==∫∫，………………………（5分)3332222sin1sin28nnnntItdttdtdtttππππππππ⎛⎞⎛⎞=⋅=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫∫∫………..（7分)32288nnππππ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠.…………..（8分)因此211nanπ，由此得到11nna∞=∑发散.……………………（10分)六、（15分）(,)fxy是{}22(,)|1xyxy+≤上二次连续可微函数，满足222222ffxyxy∂∂+=∂∂，计算积分2222221xyxfyfIdxdyxyxyxy+≤⎛⎞∂∂⎜⎟=+⎜⎟∂∂++⎝⎠∫∫.解：采用极坐标cos,sinxryrθθ==，则1200cossinffIdrrdxyπθθθ⎛⎞∂∂=⋅+⋅⎜⎟∂∂⎝⎠∫∫22210xyrffdrdydxxy+=⎛⎞∂∂=−⎜⎟∂∂⎝⎠∫∫…..（6分)2221220xyrffdrdxdyxy+≤⎛⎞∂∂=+⎜⎟∂∂⎝⎠∫∫∫()2221220xyrdrxydxdy+≤=∫∫∫…….（10分)得分评阅人得分评阅人第6页（共6页）12522000cossin168rdrddππρρθθθ==∫∫∫.……………….（15分)七、（15分））假设函数()fx在[0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，过点(0,(0))Af，与点(1,(1))Bf的直线与曲线()yfx=相交于点(,())Ccfc，其中01c.证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使()0fξ′′=.证明：因为()fx在[0,]c上满足Lagrange中值定理的条件，故存在1(0,)cξ∈，使1()(0)()0fcffcξ−′=−.………………………………………………………………….（4分)由于C在弦AB上，故有()(0)(1)(0)010fcfffc−−=−−=(1)(0)ff−.……………….………….………..（7分)从而1()(1)(0)fffξ′=−.……………………………………………...………..………..（8分)同理可证，存在2(,1)cξ∈，使2()(1)(0)fffξ′=−.………………….……..（11分)由12()()ffξξ′′=，知在12[,]ξξ上()fx′满足Rolle定理的条件，所以存在12(,)(0,1)ξξξ∈⊂，使()0fξ′′=.…………………………………….………….…….（15分)得分评阅人13¥IŒÆ)êÆ¿mýmÁòë‰Y(êÆa)˜˜˜!!!(10©©©)2(0;1),x0=a,xn+1=a+sinxn(n=0;1;2;:::).y²:»=limn!+1xn3,…»§x¡sinx=a˜Š.yyy²²²:5¿j(sinx)0j=jcosxj·1,d¥Š½n,·‚kjsinx¡sinyj·jx¡yj;8x;y2R:...........................................(2©)¤±jxn+2¡xn+1j=j(sinxn+1¡sinxn)j·jxn+1¡xnj;n=0;1;2;::::...........................................(4©)lŒjxn+1¡xnj·njx1¡x0j;8n=0;1;2;::::u´?ê1Xn=0(xn+1¡xn)ýéÂñ,l»=limn!+1xn3.........................................(6©)éu4íªxn+1=a+sinxnü4=»x¡sinx=aŠ.........................................(8©)?˜Ú,´´x¡