圆的辅助线作法详讲

1初中数学“圆中辅助线”添法探究弦与弦心距，密切紧相连.直径对直角，圆心作半径.已知有两圆，常画连心线.遇到相交圆，连接公共弦.遇到相切圆，作条公切线.“有点连圆心，无点作垂线.”切线证明法，规律记心间.圆是初中数学教学重点内容之一,对培养学生的分析能力、逻辑推理能力、解决问题能力有着重要作用.圆的知识是中考必考内容,从基础知识检测到综合解题能力考察都出现在中考数学试卷中.由圆和直线型图形,圆和函数图象可以组合成一些复杂的几何题；由圆的重要性质和平面直角坐标系、函数、方程、面积等知识就组成了综合性强、涉及面广、图形变化大的中考压轴题.在解决此类问题时,常常需要添加辅助线,才能把题中的已知条件和所求问题联系起来,使问题逐层分解,化繁为简,化难为易,从而使解题简便易行.在圆中如何添辅助线？结合自己的教学实践作一些探究.一、根据垂径定理及其推论，过圆心作弦的垂线.例1半径为5的圆中，求两条长为8和6的平行弦之间的距离.分析:此题没有说明两条平行弦是在圆心的两旁还是同旁，因此要2考虑两种情况.解:第一种情况:如图,弦AB、CD在圆心O的同旁.过O作OE⊥AB于E，交CD于F，则AE=12AB=3.连结OA、OC.∵AB∥CD,∴OE⊥CD于F，则EF是平行弦AB、CD间的距离.在Rt△OEA中，由OA=5,AE=3得OE=3522=4.同理可得OF=3.∴EF=OE-OF=4-3=1.第二种情况:如图,弦AB、CD在圆心O的两旁.过O点作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F.连结OA、OC.∵AB∥CD，则EO⊥CD于F.∴EF是平行弦AB、CD间的距离.由垂径定理和勾股定理易得：OE=4，OF=3，则EF=OE+OF=7.启示:有关圆中弦常添的辅助线是过圆心作垂线，利用勾股定理，依靠垂径定理及其推论解决有关弦的问题.二、连结圆上的有关点，根据同圆（或等圆）中，圆周角、圆心角、弦、弧之间的转换关系，解决问题.例2已知:在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,△ABD的外接圆交BC于E.求证:AD=EC.分析:连结DE，由圆周角∠1=∠2,可得AD=DE.欲证AD=EC，只要证DE=EC即可.3证明:连结DE.∵BD平分∠ABC,∴∠1=∠2,∴AD=DE.又∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.∵∠3是圆内接四边形ABED的外角,∴∠3=∠ABC.∴∠3=∠C,∴DE=EC,∴AD=EC.启示:有关圆上非特殊点，常作点与点连线.三、当题目中有直径这一条件时，常利用“直径所对的圆周角是直角”添加辅助线.例3已知:在Rt△ABC中∠ABC=90º,以AB为直径作☉O交AC于D，DE切☉O于D且交BC于E.求证:BE=EC.证明:连结BD.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90º，△BDC为Rt△.又∵∠ABC=90º，AB是☉O的直径，∴BC切☉O于点B.又∵DE切☉O于D,∴BE=DE，则∠BDE=∠DBE.∵∠1+∠BDE=90º，∠C+∠DBE=90º,∴∠1=∠C，∴DE=EC.4∴BE=EC.启示:有关圆中直径，常构造直径所对的圆周角是直角添加辅助线.四、作过切点的半径（或直径）.当题中有切线时，常连结过切点的半径或直径，利用切线与它垂直的特点.有时也作过切点的弦，沟通弦切角与圆心角、圆周角之间的联系.例4已知:在Rt△ABC中,∠C=90º,BC是☉O的直径，AB交☉O于D，DE切☉O于D，交AC于E.求证：OE∥BA.证明:连结OD.∵DE切☉O于D,∴∠EDO=90º.又∵∠C=90º，OC=OD，OE=OE,∴Rt△ECO≌RtEDO.∴∠1=∠2=12∠COD.又∵∠B=12∠COD,∴∠1=∠B.∴OE∥BA.例5已知:如图点O′为∠AOB角平分线上一点,以O′为圆心作☉O′与OA相切于点E.求证:☉O′与OB相切.证明:过点O′作O′F⊥OB于F，连结O′E.∵OA切☉O′于点E,∴O′E⊥OA于点E;O′E为☉O′的半径.又∵点O′为∠AOB角平分线上的点,∴O′E=O′F.5∴☉O′与OB相切.启示:关于圆中切线，常用辅助线是：（1）切点与圆心连线要领先，过切点作弦，莫忘弦切角.（2）要证一条线为圆的切线时，只要过圆心作这条线的垂线，证垂线段等于这个圆的半径.五、当题中有两圆相切时，首先考虑的是过切点作两圆的公切线，由此沟通弦切角与圆周角之间的联系.有时也作两圆的连心线，利用切点在连心线上沟通圆心距与两圆半径之间的联系.例6已知:两圆外切于点P,一条割线分别交两圆于A、B、C、D四点.求证:∠APD+∠BPC=180º.证明:过切点P作两圆的公切线MN.则∠BPM=∠A，∠CPM=∠D.∵∠APD+∠A+∠D=180º,∴∠APD+∠BPM+∠CPM=180º.∵∠BPM+∠CPM=∠BPC,∴∠APD+∠BPC=180º.例7已知：两圆内切于点P,大圆的弦AD交小圆于B、C两点.求证:∠APB=∠CPD.证明:过点P作公切线TP.则∠APT=∠D,∠BPT=∠BCP.∵∠APB=∠BPT-∠APT,6∠CPD=∠BCP-∠D,∴∠APB=∠CPD.启示:两圆相切,过切点作公切线,再利用弦切角定理等知识解之.六、两圆相交时，作两圆的公共弦，以两圆的公共弦作为“桥梁”沟通两圆的圆周角和其他角之间的联系.例8已知:☉O1与☉O2相交于A、B两点,E为☉O1上的一点,EF切☉O1于点E,EA、EB的延长线交☉O2于C、D两点.求证:EF∥CD.证明:连结AB，则∠1=∠2.∵四边形ABDC是☉O2的内接四边形,∴∠2=∠D.∴∠1=∠D.∴EF∥CD.启示:两圆相交，试连公共弦，有时也作连心线.七、代数、几何的综合题型.解代数、几何的综合题型时,根据问题的特点和需要,由数形结合,于数思形,以形助数,适时转化,变通.运用数形结合的思想方法,结合图形特征添加辅助线.下题是集三角形、圆、一次函数、二次函数为一体的综合性较强的试题.它要求学生不仅需要掌握必要的基础知识和较高的基本技能,而且要有较强的数形结合思想,才能在解题过程中切中要害,迎刃而解.例9已知:如图,在Rt△AOC中，直角边OA在X轴负半轴上，OC在Y轴正半轴上，点F在AO上,以点F为圆心的圆与Y轴、AC边相切，切点分别为O、D,☉F与X轴的另一个交点为E.若tanA=34,☉F的半径7为32.（1）、求过A、C两点的一次函数解析式；（2）、求过E、D、O三点的二次函数解析式；（3）、证明（2）中抛物线的顶点在直线AC上.分析：解本题（1）（2）两问的关键是求A、C、E、D、O五个点的坐标.解：（1）过切点D作☉F的半径DF，则∠ADF=90º.在Rt△ADF中，由tanA=34和半径DF=32得AD=2.∴AF=AD2+DF2=52，则AO=AF+FO=4.在Rt△AOC中，由AO=4和tanA=34，得OC=3，AC=5.则A、C两点的坐标为:A（-4，0），C（0，3）.设:所求一次函数解析式为y=kx+b.由A、C两点的坐标求得k=34，b=3.∴所求一次函数的解析式为:y=34x+3.(2)过点D作DG⊥AO于G，则Rt△ADG∽Rt△ACO.∴ADAC=DGCO，即25=DG3得DG=65.由于点D在AC上，把DG=65代入y=34x+3，可求得D点的横坐标为:-125.8∵OE=2OF=2×32=3,∴E、D、O三点的坐标为:E（-3，0），D（-125，65）、0（0，0）.设:过E、D、O三点的二次函数解析式为y=ax2+bx+c.则:9a-3b+c=0,a=-56,14425a-125b+c=65,b=-52,c=0,c=0.∴所求二次函数解析式为:y=-56x2-52x.（3）由y=-56x2-52x易得抛物线的顶点坐标为:（-32，158）.经检验得,点（-32，158）在直线y=34x+3上.∴抛物线y=-56x2-52x的顶点在直线AC上.启示:本题的辅助线是通过图形特征，挖掘题中的明显和隐含条件，而达到目的.综上所述，在解决涉及到圆的问题时，只要添加适当的辅助线，就能把题中的已知条件和问题巧妙地连接起来，达到化繁为简，化难为易的目的，从而使问题的解决简便易行.9[课后冲浪]一、证明解答题16．已知：P是⊙O外一点，PB，PD分别交⊙O于A、B和C、D，且AB=CD.求证：PO平分∠BPD．17．如图，ΔABC中，∠C=90°，圆O分别与AC、BC相切于M、N，点O在AB上，如果AO=15㎝，BO=10㎝，求圆O的半径.18．已知：□ABCD的对角线AC、BD交于O点，BC切⊙O于E点.求证：AD也和⊙O相切.19．如图，学校A附近有一公路MN，一拖拉机从P点出发向PN方向行驶，已知∠NPA=30°，AP=160米，假使拖拉机行使时，A周围100米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时，则受噪音影响的时间是多少秒？20．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，求阴影部分的面积.21．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E,BF⊥CD，垂足为F.求证：DE=CF.22．如图，O2是⊙O1上的一点，以O2为圆心，O1O2为半径作一个圆交⊙O1于C，D．直线O1O2分别交⊙O1于延长线和⊙O1，⊙O2于点A与点B．连结AC，BC．⑴求证：AC=BC；⑵设⊙O1的半径为r，求AC的长．⑶连AD，BD，求证：四边形ADBC是菱形；⑷当r=2时，求菱形ADBC的面积．23．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连AC交⊙O于D，过D作⊙O的切线EF，交BC于E点.求证：OE//AC.FEDOCBAACDO1O2B......ACBMNo10三、探索题24．已知：图a，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：（1）DC是⊙O的切线，（2）过D点作DE⊥AB，图b所示，交AC于P点，请考察P点在DE的什么位置？并说明理由.图a图b