数学高一专题------二次函数再研究

数学高一专题系列之二次函数再研究1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的一元二次函数.2.二次函数2axy的性质(1)抛物线2axy）（0a的顶点是原点，对称轴是y轴.(2)函数2axy的图像与a的符号关系：①当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点3.二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.4.二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，.5.抛物线cbxaxy2的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a越小，抛物线的开口越大，a越大，抛物线的开口越小。②对称轴为平行于y轴(或重合)的直线，记作hx.特别地，y轴记作直线0x.③定点是抛物线的最值点，坐标为(h,k)。6.抛物线的顶点、对称轴顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.运用配方法将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是hx.(1)a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样.(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2,故：①0b时，对称轴为y轴；②0ab时,对称轴在y轴左侧；③0ab时,对称轴在y轴右侧.(3)c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.7.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2axy；②kaxy2；③2hxay；④khxay2；⑤cbxaxy2.图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0x(y轴)(0,0)kaxy20x(y轴)(0,k)2hxayhx(h,0)khxay2hx(h,k)cbxaxy2abx2(abacab4422，)8.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.(2)顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.9.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系）(1)y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(c,0)(2)与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2).(3)抛物线与x轴的交点10.二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点0抛物线与x轴相交；②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点题型一：基础回顾1．函数2)1(2)(2xaxxf在)4,(上是增函数，则实数a的范围是（）A．a≥5B．a≥3C．a≤3D．a≤5变式练习2．已知函数2()1fxxmx，若对于任意的,1xmm都有()0fx，则实数m的取值范围为.3．函数2(),,.fxxaxbabR若()fx在区间(,1)上单调递减，则a的取值范围．4.已知函数2()24fxxx在区间[0,]m（0m）上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围5．已知函数2()fxxbxb（1）若b=2，求不等式()0fx的解集；（2）若不等式()0fx的解集为R，求实数b的取值范围。题型二：技能拓展1、二次函数2(0)yaxbxca的图象如图1所示，则下列说法不正确的是（）A．240bacB．0aC．0cD．02ba2．如果抛物线2)1(xmy的开口向上，那么m的取值范围是．3．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线_________．4．已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．变式练习5，函数2lg(1)()xfxx的定义域。6，已知方程01x)1m(x2在20，内有解：则m的取值范围是．7，函数xxy2在区间4,0上的最大值M与最小值N的和NM．8，已知：抛物线2(1)yxbxc经过点(12)Pb，．（1）求bc的值；（2）若3b，求这条抛物线的顶点坐标；1．(2014·湖北，9)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1，3}B．{－3，－1，1，3}C．{2－7，1，3}D．{－2－7，1，3}2．(2015·浙江，7)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)＞f(1)，则()A．a＞0，4a＋b＝0B．a＜0，4a＋b＝0C．a＞0，2a＋b＝0D．a＜0，2a＋b3．(2014·北京，14)已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若∀x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0，则m的取值范围是________．课后练习1．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是()A．(－2，2)B．(－2，0)C．(－2，1)D．(0，1)2．已知幂函数y＝f(x)的图象过点12，22，则log4f(2)的值为()A.14B．－14C．2D．－23．若f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是()A.－12，14B.－14，12C.14，12D.14，124．已知a是正实数，函数f(x)＝ax2＋2ax＋1，若f(m)＜0，比较大小：f(m＋2)________1(用“＜”或“＝”或“＞”连接)．5．设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列四个命题：①c＝0时，f(x)是奇函数；②b＝0，c＞0时，方程f(x)＝0只有一个实根；③f(x)的图象关于(0，c)对称；④方程f(x)＝0至多有两个实根．其中正确的命题是()A．①④B．①③C．①②③D．②④6．已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且a＋b＋c＝0.若x1，x2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根，求|x21－x22|的取值范围。7．已知幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3在区间(0，＋∞)上为减函数，求m的值