高二数列专题：数列综合3-放缩通项构造等比数列求和

高二数列专题：数列综合3-放缩通项构造等比数列求和当待证不等式的一端为常数时，可将另一端对应的数列通项适当放缩，变成等比数列，再通过求和达到证明的目的。111212(1)11nnnbqbaaabbbAqq（常数），其中nb为递缩等比数列。也可以由11bAq出发，找出适当的1,bq，构造nb，证明nnab即可。当出现放缩过度的情况时，可调整放缩的起点，从第k项开始放缩。上述构造中的nb并非唯一。一、例题研究：1．已知数列na满足217a，),2(2111Nnnaaannnn．（1）求1a的值；（2）求证：数列nna11是等比数列；（3）设2)12(sinnacnn，数列nc的前n项和为nT．求证：对任意的Nn，32nT．解：（1）由1212aaa和217a解得114a。（2）111112121121nnnnnnnnnnaaaaaaa得由已知,]112[21211111nnnnnnaaa.又03111a，故nna11是以3为首项，公比为-2的等比数列.（3）由（2）得11)2(3)2()14(11nnnna.所以nnna1)2(311，nnna1)2(311，11112311231)1(1)2(312)12(sinnnnnnnnnac.所以32])21(1[32211])21(1[31nnnT.（请从23出发构造数列nb。）2．（2012年广东理）设数列{}na的前n项和为nS,满足1*1221()nnnSanN,且123,5,aaa成等差数列.(1)求1a的值;(2)求数列{}na的通项公式.(3)证明:对一切正整数n,有1211132naaa解：(1)12112221,221nnnnnnSaSa相减得:12132nnnaa12213212323,34613Saaaaaa123,5,aaa成等差数列13212(5)1aaaa(2)121,5aa得132nnnaa对*nN均成立1113223(2)nnnnnnnaaaa得:122112123(2)3(2)3(2)32nnnnnnnnnnaaaaa(3)法一：（令1312bq，大胆尝试令13q,则11b,于是113nnb,此时只需证明1113nnnba就可以了.）∵1113323222nnnnn,∴1323nnn,∴1113nna,于是112111111131331113323213nnnnaaa.法二：（q的选取并不唯一,也可令12q,此时134b,132nnb,与选取13q不同的地方在于,当1n时,1nnba,当2n时,1nnba,所以此时我们不能从第一项就开始放缩,应该保留前几项,之后的再放缩,下面给出其证法.）2n时，39523222433nnnn1132nna,当1n时,11312a;当2n时,121113152aa;当3n时,12311111315192aaa.当4n时,5611231111111113()51922231132211113311151951916212nnnaaa由上式得：对一切正整数*nN，有1211132naaa。法三：（法二的改进，令12q,如果从第二项开始放缩，只须证从第二项起各项之和小于12，从而214b，12nnb。）当1n时,11312a当2n时,23311()()23222222nnnnnnnaa231211111111311222222nnnaaa由上式得:对一切正整数n,有1211132naaa法四：（放缩为裂项求和，下节讲。）当1n时,11312a显然成立.当2n时,121113152aa显然成立.当3n时,32122nnnnna12211122222nnnnnnnCCC12211221222221nnnnnnCCCCnn,又因为252221a,∴21nann(2n),∴111112121nannnn(2n),∴123111111111111311112234122naaaannn.二、参考题：3、（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）已知函数22()(0)2xafxax,数列{na}满足13aa,1()nnafa,设,(*)nnnaabnNaa,数列{nb}的前n项和为nT.(1)求12,bb的值;(2)求数列{nb}的通项公式;(3)求证:78nT【答案】