1-4函数的连续性和间断点

第一章极限与连续课题四函数的连续与间断【授课时数】总时数：4学时.【学习目标】1、知道函数的增量和在一点处连续的定义及闭区间上连续函数的性质；2、会求函数的增量、连续区间和间断点；3、会判断函数在一点处和区间的连续性；4、会用函数的连续性求函数的极限．【重、难点】重点：函数在一点处连续的定义和闭区间上连续函数的性质，通过用函数的方法来分析自然界的许多现象，借助多媒体手段引出．难点：正确判断函数在点处的连续性和求函数的间断点，由实例讲解方法．第一章极限与连续课题四函数的连续与间断自然界中有许多现象，如气温的变化，河水的流动，植物的生长等等，都是随着时间连续不断地变动的．当时间变化很微小时，它们的变化也很微小，这就是函数的“连续性”．下面我们来讨论函数的连续性．第一章极限与连续课题四函数的连续与间断一、函数的连续性此时有变到相应地由函数时变到由),()(1010xfxfy，xx.,001的增量称为自变量在点xxxx1.函数的增量（或改变量）当自变量及其左右近旁有定义在设函,)(0xxfy.)(),()(001的增量处相应于在称为函数xxxfxfxfyxy00xxx0)(xfyxy注意:(1)增量)(yx并不表示某个量与变量x(或y)的乘积,而是不可分割的整体记号;(2)增量x(或y)可以是正数也可以是负数;(3)xy称为函数)(xfy的平均变化率.第一章极限与连续课题四函数的连续与间断[例1]设13)(2xxfy,在下列条件下求自变量x的增量和函数y的增量以及函数的平均变化率:(1)当x从1变到1.5时;(2)当x从1变到0.5时;(3)当x从0x变到1x时.,75.3275.5)1()5.1(ffy;5.75.075.3xy解,5.015.1)1(x,5.015.0)2(x,)3(01xxx)2(3)13(]1)(3[02020xxxxxx)2(3)2(300xxxxxxxy,25.2225.0)1()5.0(ffy;5.45.025.2xy)()()()(0001xfxxfxfxfy第一章极限与连续课题四函数的连续与间断2.函数在一点处的连续性定义1设函数)(xfy在点0x及其近旁有定义,如果当自变量在点0x处的增量x趋向于零时,对应的函数的增量y也趋向于零,即0lim0yx或0)]()([lim000xfxxfx,那么就称函数)(xf在点0x连续,0x称为)(xf的连续点.,0xxx设),()(0xfxfy则,00xxx就是),()(00xfxfy就是.1又可以写成于是定义第一章极限与连续课题四函数的连续与间断定义2设函数)(xfy在点0x及其左右近旁有定义,如果函数)(xf当0xx时的极限存在,且等于它在点0x处的函数值)(0xf,即)()(lim00xfxfxx那么就称函数)(xf在点0x连续.第一章极限与连续课题四函数的连续与间断[例2].0,0,0,0,1sin)(处连续在试证函数xxxxxxf证一xxfxfy1sin)0()0(又由定义1知.0处连续该函数在x,01sinlimlim00xxyxx),,(该函数的定义域是.0及左右近旁有定义它在x第一章极限与连续课题四函数的连续与间断[例2].0,0,0,0,1sin)(处连续在试证函数xxxxxxf证二,01sinlim)(lim00xxxfxx又,0)0(f且由定义2知.0处连续该函数在x),0()(lim0fxfx),,(该函数的定义域是.0及左右近旁有定义它在x第一章极限与连续课题四函数的连续与间断3.单侧连续;)(),()0(,],()(0000处左连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfxaxf定理.)()(00处既左连续又右连续在是函数处连续在函数xxfxxf.)(),()0(,),[)(0000处右连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfbxxf第一章极限与连续课题四函数的连续与间断[例3].0,0,2,0,2)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f右连续但不左连续,.0)(处不连续在点故函数xxfoxy2-2第一章极限与连续课题四函数的连续与间断4.连续函数与连续区间在开区间内每一点处都连续的函数,叫做在该开区间内的连续函数,或者说函数在该开区间内连续.连续函数的图形是在连续区间内(上)能够一笔画出的一条连绵不断的曲线.例如,.),(sin内是连续的在区间xy如果函数在开区间),(ba内连续，并且在左端点ax处右连续，在右端点bx处左连续，则称函数)(xfy在闭区间],[ba上连续．第一章极限与连续课题四函数的连续与间断填空题：1．设1)(2xxfy，当x在任意点x处有增量x时，相应的y.2．函数1,11,1)1sin()(xxxxxf在1x处____________.3、若设0,0,xxaxeyx在0x处连续，则a.练习题2)(2xxx连续1第一章极限与连续课题四函数的连续与间断二、函数的间断点:)(0条件处连续必须满足的三个在点函数xxf;)()1(0处有定义在点xxf;)(lim)2(0存在xfxx).()(lim)3(00xfxfxx).()(),()(,00或间断点的不连续点为并称点或间断处不连续在点函数则称有一个不满足若上述三个条件中只要xfxxxf第一章极限与连续课题四函数的连续与间断1.跳跃间断点.)(),0()0(,,)(0000的跳跃间断点为函数则称点但右极限都存在处左在点如果xfxxfxfxxf[例4].0,0,1,0,)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解,0)00(f,1)00(f),00()00(ff.0为函数的跳跃间断点xoxy第一章极限与连续课题四函数的连续与间断2.可去间断点.)(,)(),()(lim,)(00000的可去间断点函数为则称点处无定义在点或但处的极限存在在点如果xfxxxfxfAxfxxfxx[例5].1,1,11,10,1,2)(处的连续性在讨论函数xxxxxxxfoxy112)(xfy第一章极限与连续课题四函数的连续与间断解,1)1(f,2)01(f,2)01(f2)(lim1xfx),1(f.1为函数的可去间断点x注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.第一章极限与连续课题四函数的连续与间断如[例5中],,2)1(f令.1,1,1,10,2)(处连续在则xxxxxxf跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点.0处的左、右极限都存在函数在点xoxy112第一章极限与连续课题四函数的连续与间断3.第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点为函数则称点在不存一个处的左、右极限至少有在点如果xfxxxf[例6].0,0,,0,1)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解oxy,0)00(f,)00(f.0为函数的第二类间断点x.断点这种情况称为无穷间第一章极限与连续课题四函数的连续与间断填空题：1．设xxxy221，则该函数的间断点是，第一类间断点是，也称为间断点,第二类间断点是,也称为间断点.2．函数0,10,)(2xxxxxf在0x处_______连续,连续区间是.练习题10xx或1x可去0x无穷左),0(),0,(第一章极限与连续课题四函数的连续与间断三、函数四则运算的连续性定理.)0)(()()(),()(),()(,)(),(000处也连续在点则处连续在点若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf例如,,),(cos,sin内连续在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续故xxxx第一章极限与连续课题四函数的连续与间断四、复合函数的连续性)].(lim[)()]([lim,)(,)(lim000xfafxfaufaxxxxxxx则有连续在点函数若定理2定理1.)]([,)(),()(00000处连续在则复合函数处连续在对应点函数且处连续在点若xxfyuufyxu，xxu第一章极限与连续课题四函数的连续与间断意义1.极限符号可以与函数符号互换;.))((.2的理论依据变量代换xu[例1].)1ln(lim0xxx求.1xxx10)1ln(lim原式])1(limln[10xxxeln解第一章极限与连续课题四函数的连续与间断意义1.极限符号可以与函数符号互换;.))((.2的理论依据变量代换xu[例1].)1ln(lim0xxx求.1xxx10)1ln(lim原式])1(limln[10xxxeln解第一章极限与连续课题四函数的连续与间断[例2].1lim0xexx求.1)1ln(lim0yyy原式解,1yex令),1ln(yx则.0,0yx时当yyy10)1ln(1lim同理可得.ln1lim0axaxx第一章极限与连续课题四函数的连续与间断五、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.)1,0(aaayx指数函数;),(内单调且连续在)1,0(logaaxya对数函数;),0(内单调且连续在幂函数xyxaalog,uay.logxua,),0(内连续在,不同值讨论均在其定义域内连续.第一章极限与连续课题四函数的连续与间断定理基本初等函数在定义域内是连续的.定理一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;注意2.讨论分段函数的连续性时,除了讨论各段内的连续性外,还要讨论分界点处的连续性;第一章极限与连续课题四函数的连续与间断32)1(.2xxy},1,0|{xxxD或该函数的定义域在0的左右近旁没有定义,).,1[该函数的连续区间是[例3]求下列函数的连续区间1cos.1xy},,2|{ZkkxxD该函数的定义域函数在这些孤立点的左右近旁没有定义,无连续区间.解解第一章极限与连续课题四函数的连续与间断),,(D该分段函数的定义域).,(故该函数的连续区间是0,3sin0,3)(.32xxxxxxf解,)0,(,3)(2内连续在是初等函数xxxf,),0(,3sin)(内连续在是初等函数xxxxf,3)3(lim)0(20xfx,33sinlim)0(0xxfx.0)(),0(3)(lim0处连续在即xxffxfx第一章极限与连续课题四函数的连续与间断连续函数求极限的方法代入法.)()()(lim000定义区间xxfxfxx[例4]求下列极限1sinlim)1(1xxe1sin1e原式.1sine解第一章极限与连续课题四函数的连续与间断xxxsin11lim)2(20解)11(sin)11)(11(lim2220xxxxx原式xxxxxsin11lim20.0xxxxxxsinlim11lim020xxxsin1lim101002第一章极限与连续课题四函数的连续与间断六、闭区间上连续函数的性