二次函数解决利润问题题目类型与解法

二次函数与利润1.同步学习5页到52页例九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．答案解析解：（1）当1≤x＜50时，y=（200-2x）（x+40-30）=-2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y=（200-2x）（90-30）=-120x+12000，综上所述：y=；（2）当1≤x＜50时，y=-2x2+180x+2000，y=-2（x-45）2+6050．∴a=-2＜0，∴二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，当x=45时，y最大=6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x=50时，y最大=6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）①当1≤x＜50时，y=-2x2+180x+2000≥4800，解得：20≤x＜70，因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；②当50≤x≤90时，y=-120x+12000≥4800，解得：x≤60，因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，所以该商品在整个销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元2.同步学习51页课堂过关第3题，某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x(元)152530…y(件)252015.（1）求出日销售量y（件）与销售价x(元)的函数关系式:（2）要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?要过程.（1）设经过点（15,25）（20,20）的函数关系式为y=kx+b．∴15k+b=2520k+b=20,解得：k=-1b=40．∴y=-x+40．∴y与x的函数关系式是y=-x+40；（2）设每日的销售利润为m元．则m=y（x-10）=（-x+40）（x-10）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225,∴当x=25时,m最大=225．答：每件产品的销售价定为25元时,每日销售利润最大是225元．3第51页1.某旅社有100张普通客床，每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张床租出，再提高2元，再减少10张床租出，依次变化下去，为了投资少而获利最大，每床每夜应提高租金______元．设获利为y元，每床提高2x元则有y=（10+2x）（100-10x）=-20x2+100x+1000112525202x∴x=2或3时，即提高租金为4或6元时获利最大当租金提高4元的时候，租出的床位多一些，成本高一些所以提高六元时获利最大故答案为6同步51页第4题(2014江苏徐州)某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系：y＝ax2＋bx－75，其图像如图所示．(1)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？试题分析：（1）由已知，应用待定系数法，可得二次函数解析式，根据二次函数顶点坐标的性质，可得答案.（2）根据函数值大于或等于16，可得不等式的解集，可得答案．试题解析：解：（1）y=ax2+bx﹣75图象过点（5，0）、（7，16），∴，解得.∴y与x之间的函数关系为.∵∴当x=10时，y最大=25，答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元.（2）∵函数图象的对称轴为直线x=10，∴点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16）.又∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象开口向下，∴当7≤x≤13时，y≥16．答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．考点：1.二次函数的应用；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.待定系数法的应用；4.二次函数的性质；5.数形结合思想的应用．同步52页第5题，某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．（1）求一次函数y=kx+b的表达式；（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．解：（1）根据题意得解得k=-1，b=120．所求一次函数的表达式为y=-x+120．（2分）（2）W=（x-60）•（-x+120）=-x2+180x-7200=-（x-90）2+900，（4分）∵抛物线的开口向下，∴当x＜90时，W随x的增大而增大，而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，即60≤x≤60×（1+45%），∴60≤x≤87，∴当x=87时，W=-（87-90）2+900=891．∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．（6分）（3）由W≥500，得500≤-x2+180x-7200，整理得，x2-180x+7700≤0，而方程x2-180x+7700=0的解为x1=70，x2=110．（7分）即x1=70，x2=110时利润为500元，而函数y=-x2+180x-7200的开口向下，所以要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而60元/件≤x≤87元/件，所以，销售单价x的范围是70元/件≤x≤87元/件．（10分）课本52页第8题某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？解设空闲的房间为x间，则定价增加了10x元，房价为（180+10x）元，，由题意得，y=（180+10x）（50-x）-（50-x）×20=-10x2+340x+8000=-10（x-17）2+10890故可得当x=17，即房间定价为180+170=350元的时候利润最大．答：房间定价为350元时，利润最大．同步学习第58页第5题某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）试确定y与x之间的函数关系式；（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．（1）利用待定系数法将图中点的坐标求出一次函数解析式即可；（2）根据利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式；（3）令函数关系式Q≥600，解得x的范围，利用“获利不得高于40%”求得x的最大值，得出销售单价x的范围．解：（1）设y=kx+b，根据题意得：{55k+b=6560k+b=60解得：k=-1，b=120．所求一次函数的表达式为y=-x+120．（2）利润Q与销售单价x之间的函数关系式为：Q=（x-50）（-x+120）=-x2+170x-6000；Q=-x2+170x-6000=-（x-85）2+1225；∵成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．∵获利不得高于40%，∴最高价格为50（1+40%）=70∴50≤x≤70，∴当试销单价定为70元时，该商店可获最大利润，最大利润是1000元．（3）依题意得当=﹣x2+170x﹣6000=600，解得：x1=60，x2=110，∴-x2+170x-6000≥600，解得：60≤x≤110，∵获利不得高于40%，∴最高价格为50（1+40%）=70，故60≤x≤70的整数．本题主要考查二次函数的应用，根据利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式，运用二次函数解决实际问题，比较简单．