七大函数-七大性质

函数综合问题概述——赵老师教你打通关1七大函数——1、一次函数2、二次函数3、反比例函数4、指数函数5、对数函数6、幂函数7、三角函数七大性质——1、定义域2、值域3、最值4、周期性5、奇偶性6、单调性7、对称性壹@一次函数（正比例函数）1、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。特别地，当b=0时，即：y=kx（k为常数，k≠0）则此时称y是x的正比例函数。2、一次函数的性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。（3)k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b＜0时，直线必通过三、四象限。当b=0时，直线通过原点。(4)特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。3、一次函数和正比例函数的图象和性质函数综合问题概述——赵老师教你打通关2贰@二次函数1．函数)0(2acbxaxy叫做一元二次函数。其图象是一条抛物线。2．根与系数的关系-韦达定理（1）若一元二次方程002acbxax中，两根为1x，2x。求根公式242bbacxa，补充公式axx21。韦达定理abxx21，acxx21。（2）以1x，2x为两根的方程为021212xxxxxx（3）用韦达定理分解因式2122xxxxaacxabxacbxax3．任何一个二次函数)0(2acbxaxy都可配方为顶点式：abacabxay44)2(22，性质如下：（1）图象的顶点坐标为)44,2(2abacab，对称轴是直线abx2。（2）最大（小）值①当0a，函数图象开口向上，y有最小值，abacy442min，无最大值。②当0a，函数图象开口向下，y有最大值，abacy442max，无最小值。（3）当0a，函数在区间)2,(ab上是减函数，在),2(ab上是增函数。当0a，函数在区间上),2(ab是减函数，在)2,(ab上是增函数。函数综合问题概述——赵老师教你打通关34．二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式24bac000二次函数2yaxbxc0a的图象一元二次方程20axbxc0a的根有两个相异实数根1,22bxa12xx有两个相等实数根122bxxa没有实数根不等式的解集20axbxc0a12xxxxx或2bxxaR20axbxc0a12xxxx叁@反比例函数1、定义：一般地，形如xky（k为常数，0k）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：（1）x是自变量，y是x的反比例函数；（2）自变量x的取值范围是0x的一切实数，函数值的取值范围是0y；（3）反比例函数有三种表达式：①xky（0k），②1kxy（0k），③kyx（定值）（0k）。（4）函数xky（0k）与ykx（0k）是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反比例函数。2、反比例函数解析式的特征：反比例函数xky（0k）k的符号0k0k图像定义域和值域0x，0y；即（—∞，0）U（0，+∞）0x，0y即（—∞，0）U（0，+∞）单调性图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。函数综合问题概述——赵老师教你打通关4肆@指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果axn，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*．2．实数指数幂的运算性质（1）ra·srraa（2）rssraa)(（3）srraaab)(均满足),,0(Rsra．（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(aaayx且叫做指数函数，其中定义域为x∈R．2、指数函数的图象和性质注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上，)1a0a(a)x(fx且值域是)]b(f),a(f[或)]a(f),b(f[；（2）若0x，则1)x(f；)x(f取遍所有正数当且仅当Rx；（3）对于指数函数)1a0a(a)x(fx且，总有a)1(f；伍@对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地，如果Nax)1,0(aa，那么数x叫做以．a为底．．N的对数，记作：Nxalog（a—底数，N—真数，Nalog—对数式）xNNaaxlog；2．两个重要对数：○1常用对数：以10为底的对数Nlg；○2自然对数：以无理数71828.2e为底的对数Nln．（二）对数的运算性质如果0a，且1a，0M，0N，那么：○1Ma(log·)NMalog＋Nalog；○2NMalogMalog－Nalog；○3naMlognMalog)(Rn．注意：换底公式abbccalogloglog（0a，且1a；0c，且1c；0b）．利用换底公式推导下面的结论（1）bmnbanamloglog；（2）abbalog1log．条件a10a1图像654321-1-4-224601654321-1-4-224601定义域x∈Rx∈R值域y＞0y＞0单调性在R上单调递增在R上单调递减奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数特性过定点（0，1）过定点（0，1）函数综合问题概述——赵老师教你打通关5（三）对数函数1、对数函数的概念：函数0(logaxya，且)1a叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：xy2log2，5log5xy都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．2、对数函数的性质：@@@指数函数与对数函数的比较记忆表1指数函数0,1xyaaa对数数函数log0,1ayxaa定义域xR0,x值域0,yyR图象性质过定点(0,1) 过定点(1,0)减函数增函数减函数增函数(,0)(1,)(0,)(0,1)xyxy时，时，(,0)(0,1)(0,)(1,)xyxy时，时，(0,1)(0,)(1,)(,0)xyxy时，时，(0,1)(,0)(1,)(0,)xyxy时，时，abababab条件a10a1图像32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011定义域x＞0x＞0值域RR单调性在R上递增在R上递减奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数特性过定点（1，0）过定点（1，0）函数综合问题概述——赵老师教你打通关6陆@幂函数1、幂函数定义：一般地，形如xy)(Ra的函数称为幂函数，其中为常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义,并且图象都过点（1，1）；（2）当0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[上是增函数．特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸；（3）0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．3、幂函数的图像幂函数（1)幂函数（2)幂函数（3)@@@函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数))((Dxxfy的零点。2、函数零点的意义：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点．3、函数零点的求法：○1（代数法）求方程0)(xf的实数根；○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．二、二次函数的零点：二次函数)0(2acbxaxy．（1）△＞０，方程02cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程02cbxax有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程02cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．函数综合问题概述——赵老师教你打通关7柒@三角函数正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象1、定义域RR,2xxkk2、值域1,11,1R3、最值当22xkk时，max1y；当22xkk时，min1y．当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y．既无最大值也无最小值4、周期性225、奇偶性奇函数偶函数奇函数6、单调性在2,222kkk上，是增函数；在32,222kkk上，是减函数．在2,2kkk上，是增函数；在2,2kkk上，是减函数．在,22kkk上，是增函数．7、对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中,02kk对称轴xkk对称中心,02kk无对称轴函数性质函数综合问题概述——赵老师教你打通关8三角函数（记忆）1、同角三角函数的基本关系式：tancossin，cotsincos，1cottan，1cossin221sincsc，1cossec，1tansec22，1cotcsc22注意：提高解题速度。勾股数（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）…2、诱导公式：2k把的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限”。公式组二公式组三公式组四公式组五公式组六xxkxxkxxkxxkcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(xxxxxxxxcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(3、三角函数公式：两角（和与差）的三角函数关系sin()=sin·coscos·sincos()=cos·cossin·sintantan1tantan)tan(倍角公式sin2=2sin·coscos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2