第二章---§1---变化的快慢与变化率

第二章§1理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二知识点一知识点二下表是某病人吃完退烧药，他的体温变化情况：x(min)0102030405060y(℃)3938.738.53837.637.336.9问题1：观察上表，每10分钟病人体温变化相同吗？提示：不相同．问题2：哪段时间体温变化较快？提示：从20min到30min变化快．问题3：如何刻画体温变化的快慢？提示：用单位时间内的温度变化的大小，即体温的平均变化率．平均变化率(1)定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为.fx2－fx1x2－x1其中自变量的变化称作自变量的改变量，记作，函数值的变化称作函数值的改变量，记作.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即ΔyΔx＝.(2)作用：刻画在区间[x1，x2]上变化的快慢.x2－x1Δxf(x2)－f(x1)Δyfx2－fx1x2－x1函数值一质点的运动方程为s＝10t2，其中s表示位移，t表示时间．问题1：求该质点从t1＝1到t2＝2的平均速度v1.问题2：问题1中所求得的速度是t＝1或t＝2时的速度吗？提示：v1＝10×4－10×12－1＝30.提示：不是，是平均速度．问题3：求该质点从t1＝1到t1＝1.1的平均速度v2.问题4：v1，v2中哪一个值较接近t＝1时的瞬时速度？提示：v2＝10×1.12－10×11.1－1＝21.提示：v2，因为从t1＝1到t2＝1.1的时间差短．瞬时变化率(1)定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率是ΔyΔx＝fx1－fx0x1－x0＝.而当时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢．fx0＋Δx－fx0ΔxΔx趋于0(1)函数的平均变化率可正可负，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快．(2)平均速度和瞬时速度都是反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况．平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值，而瞬时速度是运动物体在某一时刻的速度，当一个时间段趋于0时的平均速度就是瞬时速度．[例1]已知函数f(x)＝2x2＋1.(1)求函数f(x)在[2,2.01]上的平均变化率；(2)求函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．[思路点拨]先求Δx，Δy，再利用平均变化率的定义求解．[精解详析](1)由f(x)＝2x2＋1，得Δy＝f(2.01)－f(2)＝0.0802，Δx＝2.01－2＝0.01，∴ΔyΔx＝0.08020.01＝8.02.(2)∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝2Δx(2x0＋Δx)，∴ΔyΔx＝2Δx2x0＋ΔxΔx＝4x0＋2Δx.[一点通]求函数f(x)平均变化率的步骤是：(1)求函数值的改变量：Δy＝f(x2)－f(x1)；(2)求自变量的改变量：Δx＝x2－x1；(3)作商：ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x1＝2，x2＝2.1时，Δy的值为()A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44解析：Δy＝f(2.1)－f(2)＝0.41.答案：B2．已知函数f(x)＝x2，分别计算函数f(x)在区间[1,3]，[1,2]，[1,1.1]，[1,1.001]上的平均变化率．解：函数f(x)在区间[1,3]上的平均变化率为f3－f13－1＝4.函数f(x)在[1,2]上的平均变化率为f2－f12－1＝3.函数f(x)在[1,1.1]上的平均变化率为f1.1－f11.1－1＝2.1.函数f(x)在[1,1.001]上的平均变化率为f1.001－f11.001－1＝2.001.[例2]已知s(t)＝5t2.(1)求t从3秒到3.1秒的平均速度；(2)求t从3秒到3.01秒的平均速度；(3)求t＝3秒时的瞬时速度．[精解详析](1)当3≤t≤3.1时，Δt＝0.1，Δs＝s(3.1)－s(3)＝5×(3.1)2－5×32＝5×(3.1－3)×(3.1＋3)，∴ΔsΔt＝5×0.1×6.10.1＝30.5(m/s)．(2)当3≤t≤3.01时，Δt＝0.01，Δs＝s(3.01)－s(3)，＝5×(3.01)2－5×32＝5×(3.01－3)×(3.01＋3)，∴ΔsΔt＝5×0.01×6.010.01＝30.05(m/s)．(3)在t＝3附近取一个小时间段Δt，即3≤t≤3＋Δt(Δt0)，∴Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝5×(3＋Δt)2－5×32＝5·Δt·(6＋Δt)，∴ΔsΔt＝5Δt6＋ΔtΔt＝30＋5Δt.当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于30.∴在t＝3时的瞬时速度为30m/s.[一点通]在某一时间段内的平均速度与时间段Δt有关，随Δt变化而变化；但求某一时刻的瞬时速度时，Δt是趋于0，而不是Δt＝0，此处Δt是时间间隔，可任意小，但绝不能认为是0.3．一个运动物体以某建筑物为参照物，关于时间t的位移函数为s(t)＝t2－4t＋5，求：(1)t∈[1,1.5]的平均速度及t＝1时的瞬时速度；(2)t∈[2.5,3]的平均速度及t＝3时的瞬时速度．解：(1)t∈[1,1.5]时，v＝s1.5－s11.5－1＝1.25－20.5＝－1.5，t∈[1,1＋Δt]时，v＝s1＋Δt－s1Δt＝Δt2－2ΔtΔt＝Δt－2.当Δt趋于0时，v趋于－2，即为t＝1时的瞬时速度．(2)t∈[2.5,3]时，v＝s3－s2.53－2.5＝2－1.250.5＝1.5.t∈[3,3＋Δt]时，v＝s3＋Δt－s3Δt＝Δt2＋2ΔtΔt＝Δt＋2.当Δt趋于0时，v趋于2，即为t＝3时的瞬时速度．4．一辆汽车按规律s＝at2＋1做直线运动，若汽车在t＝2时的瞬时速度为12，求a.解：∵s＝at2＋1，∴s(2＋Δt)＝a(2＋Δt)2＋1＝4a＋4a·Δt＋a·(Δt)2＋1.于是Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝4a＋4a·Δt＋a·(Δt)2＋1－(4a＋1)＝4a·Δt＋a·(Δt)2.∴ΔsΔt＝4a·Δt＋a·Δt2Δt＝4a＋a·Δt.当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于4a.依据题意有4a＝12，∴a＝3.(1)瞬时变化率的绝对值度量函数在某点处变化的快慢．(2)当瞬时变化率大于0时，说明函数值在增加；当瞬时变化率小于0时，说明函数值在减小；其绝对值大小才能说明变化的快慢．(3)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．