单自由度系统的振动

第十八章单自由度系统的振动振动是日常生活和工程实际中常见的现象。例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。利：振动给料机弊：磨损，减少寿命，影响强度振动筛引起噪声，影响劳动条件振动沉拔桩机等消耗能量，降低精度等。3.研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动为人类服务。2.振动的利弊：1.振动-----系统在平衡位置附近作往复运动。4.振动的分类：单自由度系统的振动按振动系统的自由度分类多自由度系统的振动弹性体的振动按振动产生的原因分类：自由振动：无阻尼的自由振动有阻尼的自由振动（衰减振动）强迫振动：无阻尼的强迫振动有阻尼的强迫振动自激振动实际中的振动往往很复杂，为了便于研究，需简化为力学模型。质量—弹簧系统振体运动过程中，使物体回到平衡位置的力称为恢复力§12-1单自由度系统无阻尼自由振动一、振动的微分方程：只需用一个独立坐标就可确定振体的位置，这种系统称为单自由度系统。物体受到初干扰后，仅在恢复力作用下的振动称为无阻尼自由振动图示质量——弹簧系统，以平衡位置为坐标原点，则xmFmg)(stxkFststkmg变形：振体静止平衡时弹簧的—kxxkmgFmgxmst)(mkn2令02xxn则：这就是质量——弹簧系统无阻尼自由振动的微分方程。)/(022lgnn对于其他类型，同理可得。如单摆：复摆：)/(022Jmgann对于任何一个单自由度系统，以q为广义坐标（从平衡位置开始量取），则自由振动的微分方程的标准形式：02qqn解为：)sin(tAqn)cos(tAqnn0022020arctg,qqqqAnn设t=0时，代入上两式得：00,qqqq或：tCtCqnnsincos21C1，C2由初始条件决定为nqCqC/,0201tqtqqnnnsincos00ωn——圆频率，振体在2秒内振动的次数。ωn=2πfωn、f都称为系统的固有频率或自然频率A——振体离开平衡位置的最大位移，称为振幅nt+——相位，决定振体在某瞬时t的位置——初相位，决定振体运动的起始位置nT2T——周期，每振动一次所经历的时间f——频率，每秒钟振动的次数，单位：HZ，f=1/T无阻尼自由振动的特点：(2)振幅A和初相位取决于运动的初始条件(初位移和初速度)；(1)振动规律为简谐振动；(3)周期T和固有频率ωn仅决定于系统本身的固有参数(m,k,J)。四、其它1.如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动频率、振幅和相位等。2.弹簧并联系统和弹簧串联系统的等效刚度212121212211,)(,kkkkkmgkkmgFFmgkFkFeqststst并联2121eq21212121k)11()11(kkkkkkmgkmgkkmgkmgkmgeqstststst串联并联串联二、求系统固有频率的方法st——弹簧在全部重力作用下的静变形对于质量——弹簧这类系统，当振体静止平衡时，有：stkmgstng于是：无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势能点）。当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达到最大值。mgAAkVstst])[(2122max2max21kAVmgkst222maxmax2121nmAxmT如：)sin(tAxn设mkkAmAVTnn2121222maxmax得由由Tmax=Vmax求n的方法称为能量法。1.振动微分方程的标准形式2.静变形法：3.能量法：综上所述，求系统固有频率的方法有：02qqnstngst：集中质量在全部重力作用下的静变形n由Tmax=Vmax,求出能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振动系统的固有频率，用能量法来求更为简便。例1图示系统。设轮子无侧向摆动，且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹簧的质量，轮子是均质的，半径为R，质量为M，重物质量m，试列出系统微幅振动微分方程，求出其固有频率。解：以x为广义坐标，静平衡位置为坐标原点。02)(,0)(RkgRmMFmstIgkmMst2在任意位置x时：kxgmMxkFst22)2(静平衡时：应用动量矩定理x：kxRRFgRmMFmxRmMRxMRRxMRxmHII42)()()23(212由，有)(FmdtdHIIkxRxRmM4)23(振动微分方程：固有频率：mMkxmMkxn2380238解2：用机械能守恒定律以x为广义坐标（取静平衡位置为原点）22222)23(2121)(22121xmMxmRxMRxMT以平衡位置为计算势能的零位置，并注意轮心位移x时，弹簧伸长2xgxmMxkkxgxmMxkVststst)(22)(])2[(2222因平衡时gxmMxkst)(222kxV由T+V=有：constconstkxxmM222)23(21mMkxmMkxn2380238对时间t求导，再消去，得x例2鼓轮：质量M，对轮心回转半径，在水平面上只滚不滑，大轮半径R，小轮半径r，弹簧刚度，重物E质量为m,不计轮D和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率。21,kk解：取静平衡位置O为坐标原点，取C偏离平衡位置x为广义坐标。系统的最大动能为：))()(()(21]))[((21212max21max22max21maxRkkrRmgxkkxRrRmgxkkVststst2max22222max2max22maxmax][21)(21)(21)(21xr)m(R)RM(RxRrRmRxMxMT以平衡位置为重力及弹性势能零位置，则：设则有)sin(nAxnAxAxmaxmax,)(212)()(221max222222maxAkkVARrRmRMTn根据Tmax=Vmax,解得222221)()()(rRmRMRkkn§12-2单自由度系统的有阻尼自由振动一、阻尼的概念：阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。粘性阻尼：在很多情况下，振体速度不大时，介质粘性引起的阻尼力与速度的一次方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。vR投影式：xRxμ——粘性阻尼系数，简称阻尼系数。自由振动是简谐运动，振幅不随时间而变。但实际中振动的振幅几乎都是随时间逐渐减小的（也称为衰减振动），这是因为有阻尼。二、振动微分方程及其解：质量—弹簧系统存在粘性阻尼：xkxxm有阻尼自由振动微分方程的标准形式。022,22nxxnxmnmkn则令其通解分三种情况讨论：1、小阻尼情形mknn2)()sin(tAexdnt22nnd—有阻尼自由振动的圆频率则时设,,,000xxxxt0022012220020tg;)(nxxnxnnxxxAnn衰减振动的特点：(1)振动周期变大，频率减小。mknnTnnd222221——阻尼比当时，可以认为nnTTnd1(2)振幅按几何级数衰减对数减幅系数：11lnnTenT1)1(1nTintTitniieAeeAAA相邻两次振幅之比振幅：intiAeA)(222221tntnntnneCeCex)(nn2、大阻尼阻尼情形积分常数由C1、C2由运动的初始条件决定。物体的运动随时间的增长而无限地趋向平衡位置，不再具备振动的特性。所示规律已不是周期性的了，随时间的增长，x0，不具备振动特性。3、临界阻尼情形临界阻尼系数)(nnmkc2)(21tCCexnt（C1、C2由运动的初始条件决定）综上所述，系统受粘滞阻尼作用时，只有在n＜ωn的情况下才发生振动，振动的周期较无阻尼时略长，而振幅则按几何级数递减。例3质量弹簧系统，W=150N，st=1cm,A1=0.8cm,A21=0.16cm。求阻尼系数μ。20120212312121)(nTeAAAAAAAA解：201)(8.016.0nTe22122020)8.016.0ln(nnnTnsradgstn/3.3101.08.9得n=0.4（1/s）mNsnmmn/2.128.91504.0222由§12-3单自由度系统的受迫振动自由振动由于有阻尼的存在而逐渐衰减，但实际有很多振动并不衰减，这时因为受到干扰力的作用。干扰力时对系统起着激振作用的力，它不依赖于系统的运动而给系统不断地输入能量，使其持速振动。比如：转子的偏心、支撑点或悬挂点的运动等。系统在干扰力的作用下的振动称为受迫振动或强迫振动。干扰力的种类很多，我们只讨论简谐变化的干扰力：tHSsinH—力幅：干扰力的最大值；—干扰力的圆频率一、有阻尼情形tHSxRkxFxxxsin,,tHxkxxmsinmHhmnmkn;2;2令thxxnxnsin22这就是有阻尼强迫振动微分方程的标准形式：二阶常系数非齐次微分方程。其解为：21xxx1、振动微分方程及其解x1是对应齐次方程的通解)02(2xxnxn小阻尼：)sin(221tAexnnt（A、积分常数，取决于初始条件）x2是特解：)sin(2tBx代入原方程并整理22222222tg4)(nnnnhB—受迫振动的振幅—强迫振动相位滞后干扰力相位角振动微分方程的全解为)sin()sin(22tBtAexnnt衰减振动受迫振动（1）n＜ωn时（2）n=ωn时（3）n＞ωn时)sin()(21tBtCCexnt)sin()(222221tBeCeCextnntnnnt上述三式的第一部分很快就消失了。第一部分消失之前的运动称为暂态响应，第一部分消失之后的运动称为稳态响应。受迫振动指的是稳态响应，其运动方程为：)sin(2tBxx2、有阻尼受迫振动的特点：（1）振动规律，为简谐振动，不随阻尼而衰减。)sin(tBx（2）与运动的初始条件无关。（3）频率等于干扰力的频率，不受阻尼影响。二、无阻尼情形当n=0时，振动微分方程：thxxnsin2对应齐次方程的解：)sin(1tAxn特解：)sin(2tBx当n=0时，有前述：0,22nhB方程全解：nn——阻尼比tBtAxxxnsin)sin(21三、幅——频曲线共振现象将受迫振动的振幅改写为：22220)(4])(1[1nnBBkHmkmHhBn//20式中：——静偏离：在干扰力力幅作用下，振体偏离平衡位置的距离于是：22220)(4])(1[1nnBBλ——放大系数或动力系数对于不同的阻尼比，可得一系列放大系数λ随频率比ω/ωn的变化曲线，称为振幅——频率曲线，简称幅——频曲线。0,1/,1/)1(BBnnn为何值无论时时时0.70,1/)3(n阻尼对振幅影响显著。一定时，阻尼增大，振幅显著下降。222,0)(nddnn得由—