洛必达法则课件

1小结思考题作业型未定式,0型未定式00,1,02.5节洛必达法则第三章微分中值定理与导数的应用洛必达(L‘Hospital)法国数学家(1661-1705)型未定式型,002,)(时或如果当xax其极限都不能直接利用极限运算在第一章中看到,无穷大之商,法则来求.称为)()(lim)(xFxfxax那末极限定义00型未定式.或如,xxxtanlim0bxaxxsinlnsinlnlim0)00()(意味着关于它的极限不能确定出一般的未定不能确定.而并不是在确定的情况下关于它的极限结论,两个无穷小之商或两个洛必达法则两个函数f(x)与F(x)都趋于零或趋于无穷大,3这一节介绍一个求未定式极限的有效方法,此方法的关键是将)()(lim)(xFxfxax的计算问题转化为)()(lim)(xFxfxax的计算.其基本思想是由微积分著名先驱,从而产生了简洛必达法则.后人对他的思想作了推广,提出的,17世纪的法国数学家洛必达(L‘Hospital)便而重要的洛必达法则4满足条件及设函数)()(xFxf定理1型未定式型一、,00);()()(lim)3(或AxFxfax处点的邻域内可导在点aaxFxf(,)(),()2(),(0)(lim)1(或xfax);(0)(lim或xFax;0)(xF且)可除外)()(limxFxfax则).()()(lim或AxFxfax洛必达法则5证,)(),(连续在点若axFxf.0)()(aFaf,0)(lim)1(xfax;0)(limxFax则由条件(1),必有,)(),(不连续在点若axFxf,0)(limxFax.0)()(aFaf.)(),(点连续在使axxFxf,0)(limxfax由于可补充定义,x任取点).(axaxa不妨设)00(型给出证明仅对满足)(),(xFxf.0)(,),()2xFxa且内可导在洛必达法则;],[)1上连续在xa;0)(xF且),()(),()2(处除外点的邻域内可导在点aaxFxf6)()(xFxf)()(Ff)(之间与在ax,时当axAxFxfax)()(lim)3()()(limxFxfax柯西定理使内至少存在点在,),(xa)()(limxFxfax)()(xFxf,a)()(limFfa.A)(aF)(af洛必达法则7注00)()(lim)1(xFxfax…(多次用法则),0,0)2(axax00)()(limxFxfax.法则成立00)()(limxFxfax再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.这种在一定条件下通过分子分母分别求导洛必达法则8例解.2coslim2xxx求)2()(coslim2xxx原式1sinlim2xx.1例解.1coslim30xxxx求203121sinlimxxxx原式)00()00(2sin.洛必达法则9定理2);(0)(lim),(0)(lim)1(或或设xFxfxx).()()(lim)()(lim或为AxFxfxFxfxx;0)(,)()(,)2(xFxFxfNx且可导和时当);()()(lim)3(或为AxFxfx则证,1zx令)()(limxFxfxzFzfz11lim0x则,0z等价于用定理1有2201111limzzFzzfz洛必达法则10)()(limxFxfx),(x对注定理2成立;zFzfz11lim0A例解.1sinarctan2limxxx求xxxx1cos111lim22原式)00(1洛必达法则11用洛必达法则应注意的事项,,00)1(才可能用法则的未定式或只有,00或只要是则可一直用下去;(3)每用完一次法则,要将式子整理化简;(4)为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限的其它性质结合使用.(2)在用法则之前,式子是否能先化简;洛必达法则12例.)(arcsin1sinlim20xxexx求)00(解)0(~arcsinxxx201sinlimxxexx原式xxexx2coslim0)00()00(2sinlim0xexx.21洛必达法则13例解.3tantanlim2xxx求xxxxx3sincos3cossinlim2原式xxxsin3sin3lim2.3)()00(xxxcos3coslim2洛必达法则14例):(lnlim正整数nxxnx解)(11limnxnxx原式nxnx1lim0注.,0极限式子仍成立换成n例)0,:(lim正整数nexxnx)(解xnxenx1lim原式xnxexnn22)1(lim)()(0!limxnxenn次洛必达法则.ln,,,xxexnx.ln:xxenx有16例解xxxxcoslim求1sin1limxx原式).sin1(limxx极限不存在洛必达法则失效.)cos11(limxxx原式.1用法则求极限有两方面的局限性当导数比的极限不存在时,不能断定函数比的极限不存在,其一,这时不能使用洛必达法则.)(洛必达法则17可能永远得不到结果!分子，分母有单项无理式时,不能简化.如xxx21lim1122lim2xxx)(21limxxx211limxxx)(xxx21lim其实:.11lim2xxx杜波塔托夫的一个著名例子.其二用法则求极限有两方面的局限性洛必达法则18型未定式二、,0例解.lim2xxex求)0(xexx2lim2limxxe.,00.型0.1步骤:00102limxexx原式)()(关键1或000将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型洛必达法则19例).arctan2(limxxx求)0(解xxx1arctan2lim原式)00(22111limxxx221limxxx1洛必达法则20例解).1sin1(lim0xxx求)(xxxxxsinsinlim0原式xxxxxcossincos1lim0.0型.2步骤:)00()00(xxxxxxsincoscossinlim0通分00洛必达法则21练习解2121lim().11xxx求)(2121lim1xxx原式11lim2xx1.2型.2步骤:)00(通分00洛必达法则22步骤:0例解.lim0xxx求)0(0原式ee0e.1e001000exxlnxxxlnlim0xxx1lnlim02011limxxx0ln0e1lneln0e)0()(0limx00,1,0三、型未定式洛必达法则23例解)(cotlim0xx求)(0xxxx1sin1cot1lim20.1exln1原式0limxxxxln)ln(cotlim0e)(e)ln(cotln1xxe洛必达法则24例解)1(原式111limxxx求1ln1xxe1limxe1lnlim1xxx洛必达法则e11lim1xxe125例.)(arcsin1sinlim20xxexx求)00(解)0(~arcsinxxx201sinlimxxexx原式xxexx2coslim0)00()00(2sinlim0xexx.21洛必达法则杂例26.sintanlim20xxxxx解:注意到～原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31例00型27201sinlim.sinxxxx解:注意到～原式0sin1limsinxxxxx100例00型28分析:203cos1limxxx30limxx原式xsin～x1coslim0xxxxsin222103limxxxxcos1～221x6161xxxxxx20sin)sin(coslim例29例解nnne2lim求数列的极限转化为函数的未定式的极限!由于xxe2lim)0(xxex2lim)(xxe221lim0n又是x中的一种特殊情况,所以有nnne2lim0不能用洛必达法则x洛必达法则30洛必达法则1limmmnnxaxaxasin02limxxx0113lim1xxxe104lim1sinxxx32naaaxnxxx210lim求naaa,,21其中均为正数.)1(解x1原式exnaaaxnxxx210lnlim)00(e0limx1lnlnln21naaanenaaa21n法一1xnxxnxnxxaaaaaaaaa212211lnlnln洛必达法则34洛必达法则四、小结型00,1,0,型型0,00型型一、二、三、注意但求某些未定式极限不要单一使用洛必达应将所学方法综合运用.尤其是下述两种方法,可使问题大大简化.各类未定式极限问题,洛必达法则是最常用的工具,法则,三大类未定式35思考题则存在若,)(0xf000)()(lim0xxxfxxxfxx)]()([lim000xfxxfxx).()(000xfxxf问上述做法是否正确)00(洛必达法则36思考题解答非,)(0存在因为条件只给出xf就至于)(xf正确的做法是000)()(lim0xxxfxxxfxx0limxx000)()(xxxfxfx).()(000xfxxf000)(xxxxxf不一定存在.,)(0存在若xf洛必达法则000)()(lim0xxxfxxxfxx求000)()(lim0xxxfxxxfxx)()(0000xfxxfx