ch2-3-1连续函数的概念、运算性质、初等函数的连续性

§2.3函数的连续性•函数连续的概念•函数连续的运算性质•初等函数的连续性•函数的间断点及其分类•闭区间上连续函数的性质一、函数连续的概念1.函数的增量.,),,(,),()(0000的增量称为自变量在点内有定义在设函数xxxxxNxxNxf.)(),()(0的增量相应于称为函数xxfxfxfyxy0xy00xxx0)(xfyx0xxx0xyy)(xfy2.连续的定义定义设函数)(xf在),(0xN内有定义,如果当自变量的增量x趋向于零时,对应的函数的增量y也趋向于零,即0lim0yx或0)]()([lim000xfxxfx,那末就称函数)(xf在点0x连续,0x称为)(xf的连续点.,0xxx设),()(0xfxfy,00xxx就是).()(00xfxfy就是定义设函数)(xf在),(0xN内有定义,如果函数)(xf当0xx时的极限存在,且等于它在点0x处的函数值)(0xf,即)()(lim00xfxfxx,那末就称函数)(xf在点0x连续.:定义.)()(,,0,000xfxfxx恒有时使当可见,函数在点0x(1)在点即(2)极限(3)连续必须具备下列条件:存在;有定义,存在;例1.0,0,0,0,1sin)(处连续在试证函数xxxxxxf证,01sinlim0xxx,0)0(f又由定义知.0)(处连续在函数xxf),0()(lim0fxfx3.单侧连续;)(),()0(,],()(0000处左连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfxaxf定理14.)()(00处既左连续又右连续在是函数处连续在函数xxfxxf.)(),()0(,),[)(0000处右连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfbxxf例2.0,0,2,0,2)(连续性处的在讨论函数xxxxxxf解)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f右连续但不左连续,.0)(处不连续在点故函数xxf9211101)(2xxxxabxxf1abx当、时＝处连续.取何值在解：bbxfx21lim)1(1)1(f1)(lim)1(1axafx处连续在）时＝＝当1(1,2xxfba练习：问函数11ab4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续..],[)(,,,),(上连续在闭区间函数则称处左连续在右端点处右连续并且在左端点内连续如果函数在开区间baxfbxaxba连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,.),(内是连续的有理函数在区间例3.),(sin内连续在区间函数证明xy证),,(x任取xxxysin)sin()2cos(2sin2xxx,1)2cos(xx.2sin2xy则,0,时当对任意的,sin有,2sin2xxy故.0,0yx时当.),(sin都是连续的对任意函数即xxy二、连续函数的运算性质定理15.)0)(()()(),()(),()(,)(),(000处也连续在点则处连续在点若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf例如,,),(cos,sin内连续在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续故xxxx1、连续函数的四则运算性质定理16)].(lim[)()]([lim,)(,)(lim000000xfufxfuufuxxxxxxx则有点连续在函数若证,)(0连续在点uuuf.)()(,,0,000成立恒有时使当ufufuu,)(lim00uxxx又,0,0,00时使当对于xx2、复合函数的连续性.)(00成立恒有uuux将上两步合起来:,0,0,00时使当xx)()]([)()(00ufxfufuf.成立)()]([lim00ufxfxx)].(lim[0xfxx意义1.极限符号可以与函数符号互换;.))((.2的理论依据变量代换xu例4.)1ln(lim0xxx求.1xxx10)1ln(lim原式])1(limln[10xxxeln解例5.1lim0xexx求.1)1ln(lim0yyy原式解,1yex令),1ln(yx则.0,0yx时当yyy10)1ln(1lim同理可得.ln1lim0axaxx.)]([,)(,)(,)(00000也连续在点则复合函数连续在点而函数且连续在点设函数xxxfyuuufyuxxxxu定理17注意定理17是定理16的特殊情况.例如,,),0()0,(1内连续在xu,),(sin内连续在uy.),0()0,(1sin内连续在xy3、反函数的连续性定理18例如,,]2,2[sin上单调增加且连续在xy.]1,1[arcsin上也是单调增加且连续在故xy;]1,1[arccos上单调减少且连续在同理xy.],[cot,arctan上单调且连续在xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续.(),,().xyyyfxIIxyI如果函数在区间上连续并且严格单调增加或减少函数的值域为则其反函数在上也连续并且严格单调增加或减少三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★)1,0(aaayx指数函数;),(内单调且连续在★)1,0(logaaxya对数函数;),0(内单调且连续在定理19基本初等函数在定义域内都是连续的.★xyxaalog,uay.logxua,),0(内连续在,不同值讨论(均在其定义域内连续)定理20一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,,1cosxy,4,2,0:xD这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(32xxy,1,0:xxD及在0点的邻域内没有定义..),1[上连续函数在区间注意注意2.初等函数求极限的方法代入法.)()()(lim000定义区间xxfxfxx例6.1sinlim1xxe求1sin1e原式.1sine例7.11lim20xxx求解解)11()11)(11(lim2220xxxxx原式11lim20xxx20.0内容小结基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.思考与练习续?反例x为有理数x为无理数反之是否成立?提示:“反之”不成立.