函数极限存在的夹逼准则(课件全)

一.函数极限存在的夹逼准则定理2.,),(0时当xxAxhxgxxxx)(lim)(lim00,)()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0)0(Xx)(x)(x)(x且第六节极限存在准则及两个重要极限证明证:当0x时,设,1nxn则xx)1(111)1(nnnn)1(11nnn)1(lim11limn111)1(nn111ne11)1(limnnn]1)1[(lim11）（nnnneexxx)1(lim1当,)1(tx则从而有)1(11)1(limttt)1(1)(limtttt11)1(limttt)]1()1[(lim11tttte故exxx)1(lim1也可写为lim()xxxe101时,令1lim((=e1无穷大无穷小）无穷小）无穷大用于1型11lim(1)lim(1)ttttt例：1、求原式lim()xxx111lim)xxx5221、（lim)lim)xxxxx52211原式（（e2()()lim()xxx111[lim()]xxx111e1公式：73lim)3xxxx、（10lim(1)3xxx71lim31xxxx或31031010lim(1)3xxxe1077337(1)lim(1)3xxxxx7103eeecot0lim(1tan)xxx1sincosxxx证:当即2sintan(0)xxxx),0(2x时，2(0)xDCBAx1oBCABADtx令例.1、求解:原式xxxxcos1sinlim0xxxsinlim0xxcos1lim0100用于含三角或反三角的型2、求解:原式=2220sin2limxxx212120sinlimx2x2x213、求解:令,arcsinxt则,sintx因此原式tttsinlim01令1limx例：1xt0limt)1(sin)2(ttt0limttttsin)2(0limtttt)2(2xxsin12第一章,0时x23,,sinxxx都是无穷小,第七节引例.20lim03xxx20sinlimxxx0sin1lim33xxx但无穷小趋于0的速度是多样的.无穷小的比较x10.50.10.010.00103x31.50.30.030.0030x210.250.010.00010.0000010sinx0.840.480.010.010.00100sinlim1xxx定义：0设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且是的高阶无穷小是的低阶无穷小是的同阶无穷小是的等价无穷小是的k阶无穷小)(o记作记作~或~例如,当)(o～0x时2x3xxsin;x20cos1limxxx220sin2limxx又如，22)(4x21时是关于x的二阶无穷小,xcos1221x～且20lim03xxx20sinlimxxx0sin1lim33xxx0sinlim1xxx例.当0x时,32xx是的几阶无穷小?解：无穷小量比较阶时，要找最低阶数11333326322(1)(1)xxxxxx1131332632321100066(1)limlimlim(1)1xxxxxxxxxx0xxxxx思考题：当时，是的几阶无穷小量？例.证明:当时,～证:～nnba)(ba121()nnnnaabb～～～～～常用等价无穷小:～1xe～～～1xa(1)1axln(1)x～说明：以上各式中的x可换为任意无穷小～～定理1.)(o证:1lim,0)1lim(0lim即,)(o即)(o例如,,0时x～,tanxx～故,0时x)(tanxoxx定理2.设且存在,则lim证:limlimlimlimlimlim例如,xxx5sin2tanlim0xxx52lim052自变量变化过程相同因式代替规则:极限存在或有且若)(,~x界,则)(limx)(limx例如,01sinlim1sinarcsinlim00xxxxxx乘除可代替.sintanlim30xxxx30limxxxx原式32210limxxxx例1.求解:原式乘除可代替和差代替有条件例2.求.1cos1)1(lim3120xxx解:第八节函数的连续性与间断点一、函数连续性的定义1、f(x)在x0点处连续对自变量的增量有函数的增量)(xfyxoy0xxxy0lim0yx称函数在点连续反映自变量的变化很微小时，函数值的变化也很微小。定义：f(x)在x0的某一邻域内有定义1、可正可负，不为零。2、可正可负可为零。例.证明函数在内任意一点连续.证:0(,)x00sin()sinyxxx0222sincos()xxyxx0x即这说明在内任意一点连续.0函数在点连续有下列等价命题:0lim0yx)()(lim000xfxxfx)()(lim00xfxfxx000lim[()()]0xfxxfx可见,函数在点0x定义:在的某邻域内有定义,则称函数.)(0连续在xxf(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数.2、f(x)在区间上连续00()()fxfx00()()fxfx称f(x)在x0点处左连续称f(x)在x0点处右连续其图像是一条连续而不间断的曲线。xytan2xyo22（，）ab[,b]a在二、函数的间断点(1)函数(2)不存在;(3)函数存在,但)()(lim00xfxfxx不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数f(x)在点虽有定义,且称为间断点.在无定义;间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称0x若称0x第二类间断点:及中至少一个不存在,称0x若其中有一个为振荡,称0x若其中有一个为,为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.2x为其无穷间断点.0x为其振荡间断点.1x为可去间断点.xoy1例如:xytan2xyoxyxy1sin0)1(1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点.1,1,)(21xxxxfy(4)1xoy211(5)0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11,1)0(f1)0(f0x为其跳跃间断点.左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式3、若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数.其图像是一条连续而不间断的曲线。第九节连续函数的运算与初等函数的连续性定理2.连续单调递增函数的反函数在其定义域内连续一、连续函数的运算法则定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,例如,xysin在上连续单调递增，其反函数xyarcsin(递减).在[－1,1]上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调定理3.连续函数的复合函数是连续的.在上连续单调递增,其反函数在上也连续单调递增.即：设函数.)(00ux于是)(lim0ufuu)]([0xf复合函数又如,且即例如,是由连续函数链(,0)(0,)x因此在上连续.复合而成,xyoxy1sin(,0)(0,)x二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数有限次四则运算的结果连续连续函数的反函数连续有限个连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续21xy的连续区间为(端点为单侧连续)xysinln的连续区间为1cosxy的定义域为因此它无连续点而例如,三、求连续区间、并讨论间断点。1、初等函数的连续区间即为其定义域，定义域外的点为间断点。例：讨论的连续区间及间断点()tanxfxx例：讨论的连续区间及间断点2xyxx=k+,2x=kkzkz提示：x=0，2、分段函数连续区间的求法-----分界点为可能间断点。例：讨论的连续区间及间断点20x1()2-1x2xfxx例：讨论的连续区间及间断点xx0()1x=0ex0xfx根据连续定义确定待定系数例3.设函数在x=0连续,则a=,b=.解:20)cos1(lim)0(xxafx2a221~cos1xx)(lnlim)0(20xbfxblnln(0)12abf2e四、利用初等函数的连续性求极限0ln(1)1limxxx例：012limxxex例：0(1)13limaxxax例：ln(1)~xx1~xex(1)1axax2、设函数00lim().xxxu于是)(lim0ufuu0[lim()]xxfx0001(),f(x)lim()()xxxDffxfx、若且为初等函数，则例4.求解:原式)21ln(sin3xx0limxe2e)(lim12sincos0xxxxx10limx如xxxcot11xxxcot)121(第十节一、最值定理二、零点定理、介值定理闭区间上连续函数的性质注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.一、最值定理定理1.闭区间上连续的函数即:xoyab)(xfy12,],[,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa或在闭区间内有间断在该区间上必有最大(小)值点,例如,无最大值和最小值xoy11xoy1122也无最大值和最小值又如,bxoya)(xfy12mM推论.二、介值定理定理2.(零点定理)至少有一点且xyoab)(xfy在闭区间上连续的函数在该区间上有界.定理3.(介值定理)设()[,],fxCab且(),faA(),,fbBAB则对A与B之间的任一数C,一点证:作辅助函数Cxfx)()(则,],[)(baCx且()()ab))((CBCA故由零点定理知,至少有一点使即推论:Abxoya)(xfyBC使至少有在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值.例1.证明方程一个根.证:令又故据零点定理,至少存在一点使即在区间内至少有()[0,1],fxC显然通过作辅助函数F(x),再利用零点定理辅助函数的作法：1、把结论中的（或）改写成2、移项，使等式右边为零，令左边式子为F(x)0xx例2：至少有一个不超过4的证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然正根.则证明至少存在使提示:令则易证例3：设一点三、判断函数有界的方法：1、若f(x)在[a,b]上连续f(x)在[a,b]有界2、若f(x)在（a,b）上连续lim()xafxclim()xbfxcf(x)在（a,b）有界2xsinx例如：判断y=是否有界？1+x习题课二、连续与间断一、函数三、极限2.设函数,1,1,13)(